Fórmula de holomorphic Lefschetz y basic algebra lineal.

Question

Hay una conocida forma de demostrar el hecho de que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado con Lefschetz teorema de punto fijo. Permítanme recordar la idea:

1. La existencia de una raíz de ningún polinomio con coeficientes complejos es equivalente a la existencia de un vector propio para cualquier endomoprhism de un finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$. De hecho, cualquier polinomio es un polinomio característico de ciertos matriz.

2. Asumir, que $V$ es finito-dimensional espacio vectorial complejo y $A \colon V \to V$ es un endomorfismo sin vectores propios. En particular, $A$ ha trivial núcleo, de manera que induce un automorphism de la projectivization: $$\overline{A} \colon \mathbb{P}(V) \to \mathbb{P}(V).$$

3. El grupo $\mathrm{PGL}(n, \mathbb{C})$ está conectado (no se necesita el principal teorema de álgebra para demostrar esto), por lo $\overline{A}$ es homotópica a la identidad como un diffeomorphism de $\mathbb{P}(V)$. Por lo tanto su Lefschetz número es igual a Euler carácter de complejo proyectiva del espacio, que es distinto de cero. Por Lefschetz teorema de punto fijo, esto implica que $\overline{A}$ tiene un punto fijo.

4. Si $l$ es una línea fija por $\overline{A}$, entonces cualquier vector $v \in l$ es eigen para $A$.

Ahora, mi pregunta es la siguiente: ¿qué pasa si aplicamos la holomorphic teorema de Lefschetz a una lineal automorphism de un espacio proyectivo? En este caso, es fácil calcular el lado derecho: desde el que no sólo tirivial Dolbeaut cohomology grupo de espacio proyectivo es $H^{0,0}(\mathbb{CP}^n)$,e $\overline{A}$ actúa trivial, la holomorphic Lefschetz número es igual a $1$.

¿Cuál es el lado izquierdo en este caso? Parece ser cierto expresión algebraica de coeficientes de $A$. Sin embargo, después de pensarlo durante algún tiempo no soy capaz de escribir de forma explícita.

Answer 1

Yo no sabía de la prueba de $\mathbb{C}$ algebraicamente cerrado a través de Lefschetz. Pero no parece muy completo para mí. Uno tendría que argumentar que los puntos fijos son aislados y no degenerada, que en general no lo son. Si ejecuta el mismo argumento sobre el otro campo, solo muestran que hay un ciclo de puntos de grado$$e(\mathbb{P}^n)=n+1$$, que es Galois invariante. Pero tal vez esto se puede arreglar con un poco más de trabajo.

Respecto a su pregunta, yo solo hice el siguiente ejemplo. Supongamos $n=1$, es decir, $A$ $2\times2$ matriz, y que $A$ tiene dos autovalores $a_1$, $a_2$. Supongamos que tenemos diagonalized $A$ ya. A continuación, los dos puntos fijos se $[1:0]$$[0:1]$. El diferencial en los dos puntos son los números de $a_1/a_2$$a_2/a_1$, respectivamente. Y, de hecho,$${1\over{{1-{{a_1}\over{a_2}}}}} +{1\over{{1-{{a_2}\over{a_1}}}}} = 1.$$ Something similar will hold in higher dimensions. The assumption on $$ ser diagonalizable es necesario aplicar Lefschetz.