¿Es la distancia entre dos elementos de un espacio vectorial normado por lo menos la distancia entre sus proyecciones sobre la bola de la unidad?

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta de la que estoy teniendo algunas dificultades. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Deje $X$ ser una normativa espacio vectorial y definir la proyección sobre la unidad de la bola como $\pi(x)$ = $x/||x||$ para $x \in X \setminus \{0\}$. Deje $x,y \in X \setminus \{0\}$$||x||,||y|| \geq 1$. Debe ser el caso que tenemos $||\pi(x) − \pi(y)|| \leq ||x − y||$?

Me parece que no puede encontrar un contraejemplo, asi que voy a intentar ir a por una prueba. Hasta ahora la única observación que he podido hacer es esto:

WLOG podemos tomar $||x|| \leq ||y||$. También podemos WLOG tome $||x|| = 1$ ya que de lo contrario podemos reemplazar $x$ $x' = x/||x||$ $y$ $y' = y/||x||$ que no afecta a la L. H. S de nuestra desigualdad que la reducción de la R. H. S que sólo hace que la desigualdad estricta. Por lo tanto el problema se reduce a mostrar $||x-\pi(y)|| \leq ||x-y||$$||x|| = 1$$||y|| \geq 1$.

Si tenemos $||y|| \geq 3$ entonces podemos usar la desigualdad de triángulo dos veces para mostrar esto. Sin embargo no puedo encontrar una prueba usando sólo el $||y|| \geq 1$. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

No es cierto en general, como pelotas no son necesariamente redondas. Tomar $X=\mathbb R^2 $ $$|x|_\infty=\max{|x_1|,|x_2|}. $ $ elegir $ de $$x=(1,3/4), \ \ \ y =(1/4,5/4) $ % entonces $|x|=1$y $$|x-y|=3/4,\ \ \ |x-y/|y||=4/5 $ $

Answer 2

La respuesta es negativa. Las normas del operador de las dos matrices a continuación equivalen a $1$: $$ A = \pmatrix {1 & 0\ 0 & 0}, \ B = \pmatrix (\sqrt {2}-1) {2 & 1\ 1 & 0}. $$ Sin embargo, numéricamente tenemos $|A-B|=0.50879>0.50406=|A-\frac{17}{16}B|$. Por lo tanto, se exhibe un contraejemplo poniendo $(x,y)=(A,\frac{17}{16}B)$.