Como Mike y amsmath ya ha señalado en los comentarios, el espacio de $L$ de todos totalidad de las funciones de $g$ satisfacción $g(z+1) = g(z)$ es de la forma $h(e^{2\pi i z})$ donde, $h:\mathbb{C}^\ast \to \mathbb{C}$ es analítica.
Establecer, $h(\zeta) = g\left(\dfrac{\log \zeta}{2\pi i }\right)$, $h$ es analítica en $\mathbb{C}^\ast$ y, en consecuencia, admite la expansión en Series de Laurent $\displaystyle h(\zeta) = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} c_k\zeta^k$, que converge uniformemente y absolutamente en sus anillos,$A(0;r,R) = \{\zeta: 0 <r < |\zeta| < R\}$.
En particular, podemos escribir $\displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta| = r_1} \frac{h(\zeta)}{\zeta^{k+1}}\,d\zeta$ y haciendo el cambio de variable $\zeta = e^{2\pi i z}$ $r_1 = |e^{2\pi iz_0}|$ tenemos, $\displaystyle c_k = \int_{z_0}^{z_0+1} g(z)e^{-2\pi i kz}\,dz$ (bien podríamos mantener el contorno de una línea que une $z_0$$z_0+1$, que es inmaterial como $g$ es holomorphic). La serie $\displaystyle g(z) = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} c_ke^{2\pi i kz}$ converge absoluta y uniformemente en cada franja horizontal $\{|\Im z| < r\}$.
Ahora, para encontrar una solución particular $f$ a de la ecuación de $f(z+1) - f(z) = w(z)$.
La generación de la función de los Polinomios de Bernoulli $\displaystyle f(z,\zeta) = \frac{\zeta e^{\zeta z}}{e^{\zeta}-1}$ satisface, $$f(z+1,\zeta) - f(z,\zeta) = \zeta e^{\zeta z} \tag{1}$$ (Taking $\zeta = -1$ finishes our case when $w(z) = Ce^{z}$).
Para, $|\zeta| < 2\pi$ admite la expansión de la serie $\displaystyle f(z,\zeta) = \sum\limits_{k \ge 0} B_k(z)\frac{\zeta^k}{k!}$, donde, $B_k$ $k$- ésimo de Bernoulli Polynomail (grado $k$). La comparación de ambos lados de eqn $(1)$, los coeficientes deben satisfacer $$B_k(z+1) - B_k(z) = kz^{k-1}.$$
Volviendo a la integral de Cauchy fórmula que tenga en cuenta que, $$B_k(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{|\zeta| = r} \frac{\zeta e^{z\zeta}}{e^\zeta - 1}\frac{d\zeta}{\zeta^{k+1}}, \, \text{ for } r \in (0,2\pi) \tag{2}$$
Cuando, $r \in ((2m-2)\pi, 2m\pi)$ si denotamos los coeficientes como $B_{k,m}(z)$, es decir, $$B_{k,m}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{|\zeta| = r_k} \frac{\zeta e^{z\zeta}}{e^\zeta - 1}\frac{d\zeta}{\zeta^{k+1}}, \, \text{ for } r_k \in ((2m-2)\pi, 2m\pi) \tag{3}$$
Entonces por el teorema de los Residuos que tenemos, $$B_{k,m+1}(z) - B_{k,m}(z) = \frac{m!(e^{2\pi i mz} + (-1)^ke^{-2\pi i mz})}{(2\pi im)^k}$$
Por lo tanto, $B_{k,m}$ también satiesfies, $$B_{k,m}(z+1) - B_{k,m}(z) = kz^{k-1}$$ for any $m \ge 1$.
Si, $w(z)$ es toda una función con el poder de expansión de la serie $\displaystyle w(z) = \sum\limits_{k \ge 0} w_kz^k$, a continuación, al menos formalmente esperamos, $$f(z) = \sum\limits_{k \ge 0} w_k\frac{B_{k+1,m_k}(z)}{k+1}$$ to satisfy $f(z+1) - f(z) = w(z)$, where, the sequence $\{m_k\}_{k \ge 0}$ la podemos utilizar para asegurar la convergencia.
Si establecemos $m_k = k+1$ $r_k = 2\pi\left(m_k - \frac{1}{2}\right) = (2k+1)\pi$ en eqn $(3)$ tenemos, $$|B_{k+1,m_k}(z)| \le \frac{(k+1)!}{2\pi}\int_{|\zeta| = r_k}\left|\frac{\zeta^{-k-1} e^{z\zeta}}{e^\zeta - 1}\right|\,|d\zeta| \le \frac{C(k+1)!}{((2k+1)\pi)^{k+1}} \frac{e^{(2k+1)\pi|z|}}{\inf\limits_{|\zeta| = (2k+1)\pi} |e^\zeta - 1|}.$$
Por Stirling aproximación tenemos $\displaystyle \frac{(k+1)!}{((2k+1)\pi)^{k+1}} \le Ce^{2k\pi}$ para algunas constantes $C$. Por otro lado $\inf\limits_{|\zeta| = (2k+1)\pi} |e^\zeta - 1|$ es uniformemente acotada lejos del cero (acotado abajo por una constante $c$ independiente de $k$) ya que, $|\zeta| = (2k+1)\pi$ permanece uniformemente acotada lejos de la puesta a cero de $(e^\zeta - 1)$ como varían $k$ (esto en principio es una consecuencia de Lojasiewicz la desigualdad).
Por lo tanto, $\displaystyle |B_{k+1,k+1}(z)| \le C'e^{2k\pi}e^{(2k+1)\pi|z|}$ ha atmost crecimiento exponencial en conjuntos compactos, donde como caries $|w_k|^{1/k} \to 0$ $k \to \infty$ asegura normal de la convergencia de la energía de la serie de $f$, es decir, $f$ es todo.
Por lo tanto, las soluciones a $f(z+1) - f(z) = w(z)$ $w$ todo tiene la forma, $$f(z) = \sum\limits_{k \ge 0} w_k\frac{B_{k+1,k+1}(z)}{k+1} + h(e^{2\pi i z}),$$ where, $h$ is analytic in $\mathbb{C}^\ast$.
