Estoy enseñando un curso de precálculo y quería dejar que mis estudiantes trataran de resolver el siguiente problema. Si
$$ f(x)=\sqrt{x}, g(x)=\frac{x}{x-1},h(x)=\sqrt[3]{x} $$
Encuentre el dominio de
$$f\circ g\circ h $$
Tenemos lo siguiente.
$$ (f\circ g\circ h)(x)=f(g(\sqrt[3]{x}))=f(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-1})=\sqrt{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}} $$
Aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Para encontrar el dominio de esta función, necesito encontrar donde
$$ \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}\geq0 $$
Y esto ocurre cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo. Resolviendo la desigualdad me da que 0 y 1 son puntos críticos, por lo que tengo los siguientes intervalos para probar el dominio
$$ (-\infty,0),(0,1),(1,\infty) $$
La prueba de los puntos de cada intervalo muestra que sólo el intervalo del medio no satisface la desigualdad. Por lo tanto, el dominio de la composición es
$$ (-\infty,0],(1,\infty) $$
Sin embargo, cuando compruebo esto con Wolframalpha y con Symbolab, ambos me dicen que el dominio es
$$ \{0\}\cup(1,\infty) $$
He comprobado dos veces mi trabajo, e incluso introduciendo a ciegas valores de prueba como -1 me da una salida válida, así que me pregunto qué está pasando. En Desmos, he graficado la función y sí incluye la parte negativa del dominio. Lo único que se me ocurre es que tal vez los otros sitios están simplificando la expresión para obtener
$$ \frac{x^{\frac{1}{6}}}{\sqrt{\sqrt[3]{x}-1}} $$
y tal vez duden en introducir valores negativos en la raíz sexta. Sin embargo, si se hace esto, los números complejos acaban cancelándose y se obtiene una respuesta numérica real.
¿Alguna idea sobre lo que está pasando?
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Como nota aparte, mi cruzada personal es que problemas como este deberían ser descritos como composición de funciones parciales . O, al menos, debería describirse como algo así como "encontrar el mayor subconjunto de números reales en el que esta expresión describe realmente una función bien definida".
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@Hurkyl : Estoy de acuerdo. Una regla de asignación no es una función - el dominio y el rango deben ser especificados también antes de poder llamarla así. OP debería esforzarse en reforzar esta idea si está enseñando un curso de precálculo.
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Nuestro plan de estudios está configurado de tal manera que raramente definimos el dominio y el rango de antemano, sino que hacemos que los estudiantes lo averigüen, a menos que estemos tratando con funciones parciales, o encontrando las inversas de ciertas funciones como x^2. No veo cómo esto sería una composición de funciones parciales (que es algo que ciertamente no cubrimos en el plan de estudios) ya que estamos tratando el dominio completo de la expresión.