Encontrar un conjunto de funciones continuas con una cierta propiedad 2

Question

Necesito ayuda para encontrar el conjunto de funciones continuas $f : \Bbb R \to \Bbb R$ tal que para todos los $x \in \Bbb R$, la siguiente integral converge:

$$\int_0^1 \frac {f(x+t) - f(x)} {t^2} \ \mathrm dt$$

Yo creo que puede ser el conjunto de constantes de funciones, pero no he sido capaz de demostrarlo :(

Estaba pensando que usted puede utilizar la piedra weiestrass teorema considerando el conjunto de funciones continuas en un intervalo cerrado(no trivial) ,y un subconjunto que contiene el conjunto de funciones continuas cuya integral anterior se bifurca en algún punto de ese intervalo, junto con el conjunto de la constante de funciones. Así que para resolver el problema necesito sólo para demostrar que si dos funciones no cumplen con la condición de que el problema, a continuación, su producto no es así .

Espero que usted pueda proporcionar alguna información, y muchas gracias .

Answer 1

[Duplicate aquí.]

Vamos a demostrar que $f$ es constante.

Supongamos por contradicción que existe $x_0 < x_1$ tal que $f(x_0)\neq f(x_1)$. W. l.o.g. podemos suponer $f(x_1) > f(x_0)$ (de lo contrario, es suficiente para cambiar el $f$$-f$), así que $$ m := \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} > 0. $$ Consideremos la función continua $$ g(x) := f(x) - m(x-x_0). $$ Por Weierstrass' teorema, $g$ admite un mínimo punto de $c$ en el intervalo de $[x_0, x_1]$. Desde $g(x_0) = g(x_1)$, no es restrictivo suponer que $c\in [x_0, x_1)$.

Deje $\delta := \min\{1, x_1 - c\}$. Tenemos que $$ 0 \leq \int_0^\delta \frac{g(c+t) - g(c)}{t^2}\, dt = \int_0^\delta \left( \frac{f(c+t) - f(c)}{t^2} - \frac{m}{t}\right)\, dt = -\infty, $$ una contradicción.

Answer 2

Edit: (agrega detalles acerca de $h$ está acotada en un intervalo) No es un argumento completo (debido a la DCT parte), pero un inicio. A continuación se supone que el $\max_{x} \int\limits_{0}^1 \frac{|(f(x+t)-f(x))|}{t^2} dt$ es finito, que no fue dado en el problema. Deje $h(x)=\int\limits_{0}^1 \frac{f(x+t)-f(x)}{t^2}dt$ y considerar la posibilidad de $H_{s}(w)=\int\limits_{s}^w h(x) dx$ para algunos $s,w$. $h$ es continuo, como DCT implica $$|h(x+\delta)-h(x)|\leq\int\limits_{0}^1 \frac{|(f(x+\delta+t)-f(x+\delta))-(f(x+t)-f(x))|}{t^2}dt$$ can be made arbitrarily small by taking $\delta$ sufficiently small. This holds as $\frac {|f(x+\delta+t)-f(x+\delta))-(f(x+t)-f(x))|}{t^2}\leq \frac {|f(x+t)-f(x))|}{t^2}+\frac {|f(y+t)-f(y))|}{t^2}\leq 2\max_{x}\frac {|f(x+t)-f(x))|}{t^2}$. Since the integrand defining $h(x)$ is absolutely integrable, and $h(x)$ is bounded on any interval $(s,w)$ (por continuidad), Fubini la aplica y

$$H_{s}(w)=\int\limits_{0}^1 \int\limits_{s}^{w} \frac{f(x+t)-f(x)}{t^2} dx dt = \int\limits_{0}^1 \frac{F(w+t)-F(s+t)-(F(w)-F(s))}{t^2}dt$$ donde $F(w)-F(s)=\int\limits_{s}^w f(x) dx$, (teniendo en cuenta que $F$ es derivable por la FTC). La integral anterior es finito sólo si $$[F(w+t)-F(s+t)-(F(w)-F(s))]'=0,\ \text{at }t=0 \text{ i.e. }F'(w)=F'(s)$$ para todas las opciones de $w,s$. Si $h(x)$ está delimitado por todas las opciones de $x$ en el intervalo de $(s,w)$ $H_{s}(w)$ debe ser finita para todas las opciones de $s<w$ $f(s)=f(w)$ todos los $s,w$ $f$ debe ser constante.

Answer 3

Para ver la dirección opuesta:

Vea Teorema de la diferenciación de Lebesgue para funciones continuas

Por lo tanto, $\lim{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \int{0}^{\epsilon} (f(x+t)-f(x)) dt = 0$.

muestra que el $\int_{0}^{\epsilon} (f(x+t)-f(x)) dt $ gotas al menos tan rápido como $O(\epsilon)$ $\epsilon \rightarrow 0$.