Usted comienza con un infinito Ir de la junta. En cada punto de la junta de colocar una piedra de color. Hay $n>1$ diferentes colores. Encontrar todos los números naturales $n$ que no importa cómo las piedras son de color, tres piedras del mismo color forman los vértices de un ángulo recto del triángulo. El catheti (patas) de la derecha, triángulo debe ser en las líneas de la junta.
Alguna idea de cómo resolver este tipo de problemas y que el área de las matemáticas esta pregunta pertenece?
Cualquier número finito $n$ producirá un triángulo rectángulo, en el hecho de que un número infinito de ellos. El secreto es que podemos golpear un montón de filas o columnas y todavía tiene un infinito de la junta. Dado un $n$, escoja una fila de la tabla. Hay al menos un color que tiene un número infinito de piedras en la fila, la llama roja. Ahora eliminar todas las columnas que no tienen una piedra roja en la fila que se está considerando. Todavía tenemos un infinito de la junta, pero la fila considerando sólo el rojo de las piedras. Si hay una piedra roja en cualquier otro lugar en el consejo desarrollará un número infinito de rojo los triángulos rectángulos. La huelga de la fila bajo consideración y tenemos el mismo problema con $n-1$ colores. Podemos mantener la eliminación de los colores uno por uno hasta llegar a uno solo.
Considere la posibilidad de un número finito de $m\times m$ directorio donde cada intersección tiene una piedra, o no. Si hay al menos $2m$ piedras en este foro, luego me reclamo que existan tres piedras que están dispuestas en un eje alineado a la derecha, triángulo.
Para probar esto, el número de las piedras de$1$$2m$. Para cada una de las $1\le k \le 2m$, vamos a $f(k)$ el número de filas que se extendió por las piedras numeradas $1$$k$, más el número de columnas que ocupa estas piedras. Tenga en cuenta que $f(1)=2$, $f(2m)\le 2m$, y $f(k)$ es un débil aumento de la función. No puede ser estrictamente creciente; si fuera estrictamente creciente, tendría $f(2m)\ge 2m-1+f(1)=2m+1$, contradiciendo $f(2m)\le 2m$. Esto significa que debe haber algún número $k$ que $f(k)=f(k-1)$. Pero esto significa que la piedra número $k$ es la misma fila anterior de piedra, y en la misma columna como una previa de piedra, de modo que estas tres piedras que forman un triángulo rectángulo.
En particular, si una $m\times m$ directorio está lleno de piedras en $n$ colores, a continuación, algunos de color aparecerá en al menos $m^2/n$ de las piedras, así que si $m^2/n\ge 2m$, habrá un triángulo rectángulo de piedras de ese color. Por lo tanto, para todos los $n$, un infinito de colores de la junta tendrá un monocromático para colorear, y para encontrar uno, sólo hay que buscar un $2n\times 2n$ sub-plaza de las piedras.
Este problema parece caer bajo el tema de la teoría de Ramsey.
Como una nota del lado, también se puede demostrar que un $m\times m$ junta con sólo $2m-1$ piedras contiene un eje alineado a la derecha, triángulo. Esta es ajustado, ya que se puede colocar $2m-2$ piedras sin formando un triángulo.
Llamar a una piedra h-único, si no otra piedra en la misma fila tiene el mismo color, llamado v-único, si no otra piedra en la misma columna tiene el mismo color. Claramente, cada fila contiene en la mayoría de las $n-1$ h-único piedras y cada columna en la mayoría de las $n-1$ v-único piedras. Por lo tanto, en un rectángulo de $n$ filas y $n^2-n+1$ columnas, hay en la mayoría de las $n^2-n$ h-único piedras. Por lo tanto, hay una columna de este rectángulo, que no tiene un h-piedra única. Una piedra en esta columna no es v-único. Esta piedra, además de una piedra, siendo testigo de su no-h-uniqeness, además de una piedra, siendo testigo de su no-v-singularidad, forma un triángulo rectángulo del mismo color de las piedras de lo deseado.
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