¿Donde es el problema con esta prueba falsa que entero gaussiano es un campo?

Question

El % de número entero Gaussian $\mathbb{Z}[i]$es un dominio euclidiano que no es un campo, ya que no hay inverso de $2$. ¿Donde es el problema con la siguiente prueba?

Prueba de falsa

En primer lugar, tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[X]$ es un dominio integral. $x^2+1$ Es un elemento irreducible en $\mathbb{Z}[X]$, el % ideal $(x^2+1)$es máximo, que implica $\mathbb{Z}[i]\simeq\mathbb{Z}[X]/(x^2+1)$ es un campo.

Answer 1

"Puesto que $x^2+1$ es un elemento irreducible, el % ideal $(x^2+1)$es máximo"

¿Esto es cierto en un dominio genérico de integral? Considere el anillo $Z[x,y].$ tenemos que $x$ es un elemento irreducible, pero $(x)$ no es un ideal máximo, como se contiene en el % ideal de $(x,y)$que todavía no es el anillo entero.

Answer 2

$(x^2+1)$ es un primer ideal pero no máxima.

sucede en un anillo de dimensión de Krull $\geq 2$. $\dim \mathbb{Z}[X] = 2$.

Answer 3

La declaración que $(x^2+1)$ es máxima es falso.

Los ideales máximos de $\mathbb Z[x]$ son de la forma $(p, x)$ $p$ Dónde está un primer.