Hace un tiempo me compré 2 idéntica rollos de hilo dental, cada uno con 50 usos, y escogió al azar. Esta noche, la que escogí golpear el 50 uso de la marca. ¿Cuál es el número esperado de usos en el resto de rollo?
Con un 100000 caso de fuerza bruta, puedo obtener una respuesta esperada, de 8 de usos. Limpio, así que tengo tal vez por semana.
¿Qué es la no-fuerza bruta respuesta?
Modelo de su hilo dental utilizar como una caminata al azar en el plano de partida en $(0,0)$ y tomando una unidad de un paso a la derecha cuando usted recoge a partir de Un rollo, y una unidad de paso hasta el momento de recoger de rollo B.
La primera vez que el uso de uno de los rollos, hay $k$ usos restantes en la otra bobina, para algunos $k$$1$$50$. Hay dos mutuamente excluyentes posibilidades: usted debe haber llegado al punto de $(50, 50-k)$, tomando un paso a la derecha del punto de $(49, 50-k)$, o ha llegado al punto de $(50-k, 50)$, teniendo un paso adelante desde el punto de $(50-k, 49)$.
Para la primera opción hay $49 + (50-k)\choose 49$ formas de llegar al penúltimo punto, seguido por un paso a la derecha; cada camino tiene una probabilidad de $(1/2)^{99-k}\cdot(1/2)$, lo que da una probabilidad total de ${99-k\choose 49}(1/2)^{100-k}$. Desde el mismo resultado se da por la segunda opción, la probabilidad de que el resto de roll ha $k$ utiliza es el doble de este último número: $$p_k:={99-k\choose 49}\left(\frac12\right)^{99-k}.\tag1$$ Para calcular los $E(K)$, se espera que el número de usos en el resto de rollo, usted puede evaluar la sumatoria $\sum k p_k$, como en @joriki del enfoque. Alternativamente, usted puede utilizar los siguientes dispositivos para obtener una forma cerrada de la expresión: Reorganizar (1) en la relación de recursividad $$ 2[50-k]p_k = [100-(k+1)]p_{k+1},\tag2 $$ válido para todos los $k=1,\ldots,50$. La suma de ambos lados de (2) a través de todos los $k$: $$ 2[50 - E(K)] = 100(1-p_1) - (E(K)-p_1).\tag3 $$ Finalmente reorganizar (3) para obtener $$E(K)=99p_1= 99{98\choose49}\left(\frac12\right)^{98}\approx7.96.$$
Entiendo que "golpear la $50$de uso de la marca" significa que usted puede decir cuando el $50$-th uso se ha utilizado el rollo, y no es necesario retirarlo una vez más para saber que es vacío.
La probabilidad de que el otro rollo de ha $0\lt k\le 50$ usos de la izquierda es
$$ \mathsf P(K=k)=2^{-(100-k)}\binom{99-k}{49}, $$
ya que en ese caso se eligió la ahora vacía rollo $49$ veces $99-k$ veces y, a continuación, una vez esta noche.
Supongo que eres lo que implica que no han afectado a la $50$de uso de la marca en el otro rollo todavía, así que queremos que las probabilidades condicionales $\mathsf P(K=k\mid K\gt0)$. Afortunadamente, tenemos $\mathsf P(K\gt0)$ por simetría, por lo que para $k\gt0$ hemos
$$ \mathsf P(K=k\a mediados de K\gt0)=\frac{\mathsf P(K=k\de la tierra K\gt0)}{\mathsf P(K\gt0)}=\frac{\mathsf P(K=k)}{\mathsf P(K\gt0)}=2\mathsf P(K=k)\;. $$
Así
\begin{eqnarray*} \mathsf E[K\mid K\gt0] &=& \sum_{k=1}^{50}k\,\mathsf P(K=k\mid K\gt0) \\ &=& \sum_{k=1}^{50}k\cdot2\cdot2^{-(100-k)}\binom{99-k}{49} \\ &=& \frac{315285451704888104171289053925}{39614081257132168796771975168} \\ &\approx& 7.96\;, \end{eqnarray*}
de acuerdo con su simulación.
Alternativamente, usted puede obtener el factor de $2$ diciendo que la última vez vaciado, ya sea de los rodillos, así que usted no consigue un factor de $\frac12$ durante los últimos utilizar y, a continuación, el uso de $2^{-(99-k)}$ para la probabilidad de que un cierto patrón de decisiones de ese o de otro rollo.
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