Digamos que usted está en Rn y se define en la norma como ||x||=√x21+x22...+x2n. Este reconocemos como de costumbre, norma del producto interior: ||x||=√⟨x,x⟩ donde ⟨x,y⟩=x1y1+x2y2+⋯+xnyn. Es fácil comprobar que este satisface todos los axiomas de un producto interior. Entonces podemos definir ortogonalidad como un cero producto interior, y obtenemos el teorema de Pitágoras, podemos definir la proyección y, a continuación, la prueba de Cauchy–Schwarz es bastante sencillo.
Pero ahora viene mi problema. Digamos que usted no quiere pasar por el interior del producto, pero usted todavía desea probar de Cauchy–Schwarz. Cuando usted no tiene un producto interior, Cauchy–Schwarz no tienen mucho sentido, pero yo quiero la parte donde hemos sustituido el interior de la pieza de los productos.
Quiero decir, Cauchy–Schwarz dice: |⟨x,y⟩|≤||x||⋅||y||. Esta ecuación tiene sentido, incluso sin interior-productos para nuestro caso:
|x1y1+x2y2+⋯+xnyn|≤√x21+x22+⋯+x2n⋅√y21+y22+⋯+y2n
Sin embargo no soy capaz de probar esta desigualdad. Para mí, es más fácil ir a través del interior del producto para probar esto, pero quiero ser capaz de demostrar esta desigualdad directamente, ¿cómo se supone que voy a hacer eso?
Es decir, mi problema es demostrar que
|x1y1+x2y2+⋯+xnyn|≤√x21+x22+⋯+x2n⋅√y21+y22+⋯+y2n
sin pasar por el interior del producto. Es así de duro? Diría usted que es más fácil definir el interior del producto y demostrando de esa manera? Me parece raro que debería ser más fácil para definir una gran cantidad de nuevos términos, sólo para demostrar una desigualdad.