Si es irracional $\frac{\theta_1-\theta_2}{2\pi}$ $f$ es una constante.

Question

Que $f: B(0,1)\to\mathbb{C}$ ser analítico con la propiedad que existe $\theta_1, \theta_2\in\mathbb{R}$ tal que $$|f(re^{i\theta_1})|=|f(0)|=|f(re^{i\theta_2})|$$ for all $r\in (0,1) $. Show that if $\frac {\theta_1-\theta_2} {2\pi} $ is irrational then $f$ es una constante.

¿Podría alguien amablemente ayudar? He estado pensando durante mucho tiempo y todavía no tienen idea. ¿Cómo utilizar $\frac{\theta_1-\theta_2}{2\pi}$ es irracional para probar $f$ es constante? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Supongamos $f(0)=0$. A continuación, el resultado es inmediato, como $f$ tiene ceros en todos los puntos de un rayo y por lo tanto debe ser idéntica a cero.

Supongamos $f(0)\ne 0$. Entonces existe una vecindad alrededor de $0$ que $f\ne 0$, y, por tanto, una analítica logaritmo de $f$ puede ser definido. Deje $g = \log f$ en este barrio. Desde la parte real de la $\log z$$\log{|z|}$, se deduce que la parte real de la $g$ es constante a lo largo de los rayos de $\{re^{i\theta_1}\}$$\{re^{i\theta_2}\}$. Basta probar lo siguiente:

Reclamo: Si $g$ es analítica en torno a $0$ $\text{Re}(g)$ es constante a lo largo de los rayos de $\{re^{i\theta_1}\}$$\{re^{i\theta_2}\}$$\frac{\theta_2-\theta_1}{2\pi}\not\in\mathbb{Q}$, $g$ es constante.

Prueba: WLOG deje $g(0)=0$, de modo que la parte real de la $g$ a lo largo de ambos rayos es cero, y asumir la $g$ no es idéntica a cero. Entonces los ceros de $g$ son discretos, por lo que tomando una pequeña suficiente barrio podemos asumir que $g$ no tiene otros ceros. Desde $g(0)=0$ $g$ no es idénticamente cero, existe un entero positivo $m$ y un complejo número de $C\ne 0$ tal que $$ g(z) = Cz^m + O(|z|^{m+1}) $$ cerca de $z=0$. Ahora, para lo suficientemente pequeño $r>0$, sabemos que $g(re^{i\theta_1})$ $g(re^{i\theta_2})$ son ambos distintos de cero, y además \begin{align} g(re^{i\theta_1}) &= Cr^me^{im\theta_1} + O(r^{m+1}) \\ g(re^{i\theta_2}) &= Cr^me^{im\theta_2} + O(r^{m+1}). \end{align} De ello se sigue que $$\frac{g(re^{i\theta_2})}{g(re^{i\theta_1})} = e^{im(\theta_2-\theta_1)} + O(r). $$ Desde el real de ambas partes de $g(re^{i\theta_1})$ $g(re^{i\theta_2})$ son cero, ambos números son puramente imaginarios, por lo que su cociente debe ser real para todos los $r>0$. Por otro lado, como $r\rightarrow 0$, la parte imaginaria de la mano derecha enfoques $\sin(m(\theta_2-\theta_1))$. De ello se desprende que $\sin(m(\theta_2-\theta_1)) = 0$, contradiciendo la suposición de que $\frac{\theta_2-\theta_1}{2\pi}$ es irracional.

Por lo tanto, se deduce que el $g$ debe ser idénticamente cero en el supuesto de que $g(0)=0$, por lo que en el caso más general se sigue que $g$ debe ser constante. Desde $g$ se definió como el logaritmo de $f$, se deduce que el $f = e^g$ debe ser constante así.