¿Es esto suficiente para demostrar que las sumas parciales convergen?

Question

Estoy intentando mostrar explícitamente que las sumas parciales (para la serie$\sum \frac{1}{j(j+1)}$ de j = 1 a$\infty$) convergen. ¿Sería suficiente decir que al mirar$\sum \frac{1}{j(j+1)}$ =$\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}$ y$\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1} \rightarrow 0$ como$j \rightarrow \infty$?

Hay un teorema en el libro que dice que si$\sum a_j$ converge, entonces$a_j \rightarrow 0$ como$j \rightarrow \infty$, pero no sé si esta es una condición iff que se mantiene en el otro sentido.

Answer 1

Sugerencia. Aquí la suma parcial es fácil de manejar, tienes (una suma telescópica) $$ \sum{j=1}^N \frac{1}{j(j+1)} = \sum {j = 1} ^ N \left (\frac {1} j-\frac {1} {j +1} \right) = 1-\frac {1} {n+1} \qquad N\geq1. $$ Este también te pueden interesar.

Answer 2

Se puede demostrar la convergencia a través de una prueba de comparación. Tenemos

$\sum{j =1}^{j =\infty} \frac{1}{(j+1)j} = \sum{j =1}^{j =\infty} \frac{1}{j^2 +j} \leq \sum_{j =1}^{j =\infty} \frac{1}{j^2}$

Ahora se sabe que $\sum_{j =1}^{j =\infty} \frac{1}{j^2}$ converge y así

$\sum_{j =1}^{j =\infty} \frac{1}{(j+1)j}$ converge.

Answer 3

Sobre el teorema, no, no es un si y sólo si! Este teorema es ampliamente utilizado para comprobar la divergencia de la serie a partir de su lógica de la equivalencia que establece:

Lógica de la Equivalencia del Teorema. Si $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a_n} \ne 0$ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = p}^n {{a_n}}$ no existe o diverge.

Acerca de la convergencia, como su suma parcial es un telescópica uno simplemente puede derivar una fórmula para la suma parcial y, a continuación, evaluar el límite de la suma parcial (convergencia de la serie)

$$\sum\limits_{j = p}^n {{1 \over {j(j + 1)}}} = \sum\limits_{j = p}^n {{1 \over j} - } {1 \over {j + 1}} = {1 \over p} - {1 \over {n + 1}}$$

y por lo tanto

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = p}^n {{a_n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1 \over p} - {1 \over {n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1 \over p} - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1 \over {n + 1}} = {1 \over p} - 0 = {1 \over p}$$