Muestran que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función continua tal que $f(2x)=f(3x)$ % todo $x \in \mathbb{R}$, entonces f es una constante.

Question

Muestran que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función continua tal que $f(2x)=f(3x)$ % todo $x \in \mathbb{R}$, entonces f es una constante.

Mi solución:

$$f(2x) = f(3x)$ $ $$\implies f(x) = f(\frac{2}{3}x) = f((\frac{2}{3})^2x) = ... = f((\frac{2}{3})^nx) = f(0)$ $ Por lo tanto, la función es una constante. Me parece raro porque no uso el hecho de que f es continua. ¿Puede alguien indicar me donde es el problema con mi solución? Gracias

Answer 1

Si $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ es continua y para cada $x\in\mathbb{R}$, $f(2x)=f(3x)$, a continuación, $f$ es una función constante.

Prueba. Supongamos la siguiente:
(i) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua.
(ii) Para cada $x\in \mathbb{R}$, $f(2x)=f(3x)$.

Deje $x\in\mathbb{R}$ ser arbitraria. Por (ii), $$f(x)=f\left(3\cdot\left(\frac{x}{3}\right)\right)=f\left(2\cdot\left(\frac{x}{3}\right)\right)=f\left(\left(\frac{2}{3}\right)\cdot x\right)$$ Por lo tanto, para cada $n\in\mathbb{N}$, $$f(x)=f\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)\tag{1}$$ Por (i), para cada secuencia convergente $(x_n)$$\mathbb{R}$, la secuencia de $(f(x_n))$ $\mathbb{R}$ es convergente, en cuyo caso $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)$$ Esta propiedad es equivalente a la noción de que una función sea continua! De todos modos seguimos con la prueba. Debido a $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)$ es una secuencia convergente en $\mathbb{R}$, la secuencia de $f\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)$ $\mathbb{R}$ es convergente, y $$\lim_{n\to\infty}f\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)$$ Porque de $(1)$, $$f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x)\overset{(1)}{=}\lim_{n\to\infty}f\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\cdot x\right)=f(0)$$ Recordemos que $x$ es arbitrario. Por lo tanto, para cada $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=f(0)$. Por lo tanto, $f$ es una función constante.$\square$

Observe que $\epsilon$,$\delta$-la prueba no es necesaria por el equivalente de la noción de que una función sea continua.

Answer 2

Deje $$f(x)=\begin{cases}1&\text{if }x>0\\0&\text{if }x=0\\-1&\text{if }x<0\end{cases}$$ A continuación, $f(2x)=f(3x)$ todos los $x$, pero no es constante (y no es continua). Por tanto, la continuidad es necesaria. Hay muchas más funciones posibles $f$ que funcionan como tales contraejemplo, como $$f(x)=\begin{cases}1&\text{if }x\in\mathbb Q\\0&\text{if }x\notin\mathbb Q\end{cases} $$

El paso en la prueba de que no funciona con estos $f$ es el último paso $f((\frac23)^nx)=f(0)$ en la ecuación (si $x\ne0$, resp. $x\notin\mathbb Q$). Y, de hecho, este paso sólo puede ser rigurosa, porque nos da ese $f$ debe ser continua: Tenemos $(\frac23)^nx\to 0$ y, por tanto, por la continuidad de la secuencia de $f((\frac23)^nx)$ también tiende a $f(0)$. Pero como $f((\frac23)^nx)=f(x)$ esta secuencia es en realidad constante, así que la única manera de converger es ser constante.

Más formalmente: Para cualquier $\epsilon>0$ nos encontramos con que $|f(x)-f(0)|=|f((\frac23)^nx)-f(0)|<\epsilon$ adecuado $n$, por lo tanto $$f(x)-f(0)=0 \implies f(x)\text{ is a constant function}.$$