Límite superior para la orden de grupo finito dado las relaciones

Question

Decir que tengo un grupo con la siguiente presentación: $$ G = \langle a,b \mediados de los a^2 = b^3 = (ab)^3 = e \rangle $$

Durante una conversación alguien había mencionado que la orden para $G$ debe ser menor o igual a $12$. No podía seguir la conversación bien, pero tratando de averiguar donde esta obligado vino de me confundí. Parecían hacer que suene como la que había cierta propiedad que les permitió calcular con bastante rapidez. ¿Hay algún teorema que le da una cota superior para grupos finitos que son relativamente bien comportado? (Como aquellos con dos o tal vez tres generadores).

Answer 1

Creo que no hay ningún teorema general de este tipo, a menos que sepamos algo razonablemente específica acerca de las relaciones. Por ejemplo, cada grupo simple finito puede ser generado por dos elementos, aunque posiblemente con muchas relaciones. También es preocupante: la palabra problema para finitely presentado los grupos no es solucionable en general; es decir, no hay ningún algoritmo que puede determinar si dos elementos en un arbitrario finitely presentada grupo son iguales. Y por último, un problema abierto: se desconoce si 2-generado grupo donde todos quinto poderes son triviales debe ser finito. (Ver $B(2, 5)$.)

Answer 2

Me iba a ir de la forma más básica : enumerar los elementos.

Así que a partir de $a^2 = b^3 = e$, usted sabe que los elementos del grupo son secuencias de $a$ $b$ cuando hay más de un consecutivas $a$, y dos consecutivas $b$.

Confeccionemos una lista de los elementos por su número de factores.

• 0 factores : $e$
• 1 factor : $a$ $b$
• 2 factores : $ab, ba$$b^2$, todos los distincts
• 3 factores : $aba, bab, ab^2, b^2a$, todos los distincts
• 4 factores : $abab, baba, ab^2a, b^2ab, bab^2$

Pero tenemos $baba = (ba)^{-1} = ab^2,\quad abab = (ab)^{-1} = b^2a$, e $ab^2a = (aba)^{-1} = bab$, por lo que el único elemento nuevo con 4 factores se $b^2ab$$bab^2$, figura nos hace 12 elementos en total.

Ahora echemos un vistazo a los elementos con 5 factores : $ababa, abab^2, ab^2ab, babab, bab^2a, b^2aba, b^2ab^2$. Cada uno, pero la última contiene un 4-factor que redujo a un 3-factor, por lo que estos son, de hecho, de 4 factores y ya hemos visto. Ahora $b^2ab^2 = (bab)^{-1} = aba$ es un 3-factor.

Cualquier factor de longitud superior también sería reducible, por lo que se han enumerado todos los elementos, y no son en la mayoría de los que 12 de ellos.

Answer 3

Ya hay varias buenas respuestas, pero me gustaría mencionar una herramienta adicional, porque es sistemático: el Todd-Coxeter algoritmo. Una presentación de un grupo que incluye a un número finito de orden del generador, si el grupo es finito, el Todd-Coxeter algoritmo terminará y proporcionar el orden del grupo. (Si hay un peligro de que el grupo no es finito, entonces se corre el riesgo de que el algoritmo no terminar.)

Aprendí el algoritmo del Capítulo 6 de este libro.

Answer 4

Si usted es capaz de dar una cota superior para el orden de un grupo, es generalmente porque se reconocen $G$ como un cociente (homomórfica de la imagen) de un conocido grupo finito, decir $\tilde{G}$. En este caso, es posible observar que el grupo tetraédrico $\tilde{G} = A_4 < S_4$ puede ser dado por la presentación $$ \langle x, y \a mediados de x^2 = y^3 = (x-y)^3 = 1 \rangle, $$ donde$x = (1\,2)(3\,4)$$y = (1\,2\,3)$.

Comprobar que el mapa de $\varphi: A_4 \to G$, definido por \begin{align} x \mapsto a \\ y \mapsto b \end{align} es, de hecho, un homomorphism. Esto equivale a la comprobación de que para cada relación de las variables$x$$y$, la correspondiente relación se cumple en la imagen de $\varphi$ en las variables de $a$$b$. (En este ejemplo, es trivial debido a que el mapa es tan simple.)

Por último, compruebe que el mapa está en. (De nuevo, esto es trivial en este caso).

Ahora, se puede concluir que $\lvert G \rvert \le \lvert \tilde{G} \rvert < \infty$. En realidad obtener una conclusión más fuerte: por Lagrange del teorema, $\lvert G \rvert$ es un divisor de a $\lvert \tilde{G} \rvert$.