Selección aleatoria de un número natural

Question

En la respuesta a estas preguntas:

• La probabilidad de escoger una al azar número natural,

• Dadas dos elegidos al azar de números naturales, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo es mayor que la primera?

se dice que uno no puede seleccionar un número natural al azar.

Sin embargo, en esta pregunta:

• ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a $ n $ números naturales, todos los pares coprime?

se supone que podemos recoger $n$ natural de números al azar. Se da una descripción en la última pregunta de cómo estos números son seleccionados al azar, a la que no parece haber ninguna objeción (aunque la aceptan respuesta es dada por una de las personas explicando que uno no puede escoger un número al azar en la primera pregunta).

Sé que uno no puede escoger un número natural al azar, así que, ¿cómo no parece ser un problema en escoger al azar un número en la última pregunta?

PD: yo soy feliz con algún tipo de medida de la teoría de la respuesta, por lo tanto la probabilidad teoría de la etiqueta, pero creo que para la accesibilidad a otras personas más básicos de la descripción sería preferible.

Answer 1

Realmente depende de lo que quieres decir con la "probabilidad de seleccionar al azar de n números naturales con la propiedad $P$". Mientras que usted no puede escoger al azar número natural, se puede hablar de una distribución uniforme.

Para el problema anterior, la probabilidad se calcula, y debe ser entendida como el límite al $N \to \infty$ a partir de la "probabilidad de seleccionar al azar de n números naturales de$1$$N$, todos los pares coprime".

Tenga en cuenta que, en este sentido, el segundo problema también tiene una respuesta. Y algunas de este tipo de probabilidades puede ser conectado a través de los sistemas dinámicos a un ergodic medida y una ergodic teorema.

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Añadido El ejemplo proporcionado por James Fennell es bueno para entender el último párrafo de arriba.

Considere la posibilidad de ${\mathbb Z}_2 = {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$, y la acción de la ${\mathbb Z}$ ${\mathbb Z}_2$ definido por

$$m+ ( n \mod 2)=(n+m) \mod 2$$

Entonces, existe un único ergodic medida en ${\mathbb Z}_2$, es decir,$P(0 \mod 2)= P(1 \mod 2)= \frac{1}{2}$.

Esto es realmente lo que intuitivamente entendemos por "la mitad de los enteros son aún".

Ahora, el ergodic la teoría de los rendimientos (y es algo que puede ser fácilmente demostrado directamente en este caso)

$$\lim_{N} \frac{\text{amount of even natural numbers} \leq N}{N} = P( 0 \mod 2) =\frac{1}{2} \,.$$

Answer 2

Quizás una justificación es este. En la primera pregunta es (correctamente) afirmó que es imposible tener una distribución uniforme en los números naturales. Por lo tanto, no podemos desarrollar una forma razonable de la elección particular de números al azar, cuando cada supuestamente tiene la misma probabilidad. La última pregunta a pesar de que está tratando con la probabilidad de escoger una determinada clase de números. En ese caso, el enfoque es para recoger $N$ grandes, imponer una distribución uniforme en $[1,N]$ (que siempre podemos hacer), el trabajo de la probabilidad como una función de la $N$, y, a continuación, tomar el límite de $N \rightarrow \infty.$

Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de escoger al azar un número par?

Fix $N$. Si $N$ es incluso entonces, la probabilidad de escoger un número en el uniforme de distribución en $[1,N]$ es exactamente $1/2$. Si $N$ es impar, entonces la probabilidad es $$ \frac{\text{cantidad de números pares}}{\text{total cantidad}} = \frac{ (N-1)/2 }{N} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2N} $$ Y así, como nos tomamos el límite de $N \rightarrow \infty$, podemos decir que la probabilidad de elegir un número par es 1/2.

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Este enfoque es realmente un "natural de la densidad de" enfoque; ver http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density.

El natural de la densidad de características, por ejemplo, en el Green-Tao teorema. Green y Tao mostró que los números primos positivos natural de la densidad, y por lo tanto que deben contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas. <- incorrecta!!

Answer 3

No hay una distribución uniforme en los números naturales.