Demuestre que el siguiente conjunto es denso en números reales

Question

Me gustaría probar la siguiente declaración.

Deje que {$a_{n}$} sea una secuencia de números reales positivos que converjan a$0$. Demuestre que el conjunto$E$ = {$ka_{n}$:$k$$\in$$\mathbb{Z}$,$n$$\in$$\mathbb{N}$%} es denso en R.

Sé que$\lim_{n\to \infty}$$\lfloor x /a_{n}\rfloor$$a_{n}$$=x$ para todos$x$$\in$$\mathbb{R}$. ¿Es posible que pueda probar la afirmación anterior utilizando este teorema que conozco?

¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Usted está en el camino correcto, todo lo que usted necesita para añadir la observación de que la $\lfloor x/a_n \rfloor$ es un número entero, al que llamaremos $k_n$.

Sabemos que $d(k_n a_n,x) \le |a_n| \to 0$ $n \to \infty$ porque $$k_n a_n \le x < (k_n+1) a_n $$ (Sospecho que esta parte ya sabéis, a partir de lo que escribió).

De ello se desprende que $k_na_n$ es una secuencia de elementos de $E$ que converge a $x$, debido a que $$0 \le x - k_n a_n \le a_n $$ y así, por el teorema del encaje, $$\lim_{n\to\infty}(x - k_n a_n) = 0 $$ $$x \lim_{n\to\infty} k_na_n = 0 $$ $$x = \lim_{n\to\infty} k_na_n $$ Ya hemos demostrado que un número real arbitrario $x \in \mathbb{R}$ puede ser escrito como un límite de alguna secuencia de puntos en $E$, se deduce que el $E$ es denso en $\mathbb{R}$.

Answer 2

Sugerencia: también puedes verlo desde el punto de vista de un topólogo. Debe mostrar que$E$ cruza cada intervalo abierto no vacío, es decir, un conjunto de la forma$(b,c)$ con$b<c$. ¿Pero qué puedes decir sobre${\Bbb Z} a_n$ cuando$|a_n|< c-b$?