recuperando una representación de su carácter

Question

El carácter de una representación de un grupo finito o un grupo de Lie de dimensión finita determina la representación hasta el isomorfismo.

¿Existe una forma algorítmica de recuperar la representación dada al personaje y la estructura de conjugación del grupo?

Answer 1

A continuación por "representación" me refiero a "finito-dimensional complejo continuo de la representación".

Esto es falso por la Mentira de los grupos en general; por ejemplo, el carácter de una representación de $\mathbb{R}$ no distingue el $2$-dimensiones trivial representación de la representación $$r \mapsto \left[ \begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array} \right].$$

(Técnicamente hablando, cualquier contables grupo discreto también es una Mentira grupo, ya que es un $0$-dimensiones del colector para cualquier definición razonable de colector, pero ahora estoy siendo demasiado exigente.)

La afirmación correcta es compacto grupos (no necesariamente se encuentran). Es suficiente para abordar el problema de representaciones irreducibles. Si $G$ es un grupo, $\mu$ está normalizado medida de Haar, y $\chi_V$ es el carácter de una representación irreducible $V$, vamos a $L_g : L^2(G) \to L^2(G)$ ser el mapa que se traduce en una función por $g$ (que se tome $L_g(f(h)) = f(g^{-1}h)$). Entonces $$\dim(V) \int_G \overline{ \chi_V(g) } L_g \, d \mu$$

es una proyección de $L^2(G) \to L^2(G)$ cuya imagen es el $V$-isotypic componente de $L^2(G)$ (ejercicio). De tomar cualquier vector distinto de cero en esta imagen y aplicar adecuadamente muchos de los elementos de $G$ a se le dará explícita vectores que abarca un subespacio de $L^2(G)$ isomorfo a $V$; a su vez estos en una base, y luego de obtener explícito de las matrices de los elementos de $G$.

Desde $L^2(G)$ es un poco grande, un método alternativo (que sólo funciona para Mentir grupos) es empezar con una fiel representación de la $W$ y tomar un tensor de energía $W^{\otimes n} (W^{\ast})^{\otimes m}$ contiene $V$ (esto siempre es posible, ver este MO pregunta), a continuación, aplicar la proyección $$\dim(V) \int_G \overline{\chi_V(g)} g \, d \mu.$$