Existencia de un subconjunto de $\Bbb R$ tal que $A\cap A^\prime=\emptyset$ $\overline{A}$ innumerables

Question

¿Hay un subconjunto $A$ $\Bbb R$ tal que $A\cap A^\prime=\emptyset$ y $\overline{A}$ incontables?

Mi intento:

$$A\cap A^\prime=\emptyset\quad \Rightarrow \quad \overline{A}=A\cup A'=(A\cap A^\prime)\cup A=A$ $ para que $A$ está cerrado y $A'\subseteq A$ así $A'=A\cap A^\prime=\emptyset$.

Answer 1

Un punto en el conjunto de $A$ que no es su punto límite debe ser su punto aislado. La condición que $A\cap A'=\emptyset$ es equivalente a la afirmación de que el conjunto de $A$ consiste solamente en puntos aislados. Su cierre $\overline{A}$ pueden ser incontable. Puede encontrar un ejemplo comunmente confundido en el aislado punto de entrada en la wikipedia.

https://en.wikipedia.org/wiki/Isolated_point