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Question

¿Existe una función continua biyectiva que puede asignar $x+y \leq 1, x,y >0$ $R^2$?

Agradezco cualquier idea y comentario.

Answer 1

Esto va a ser bastante similar en espíritu a lo que stewbasic sugirió en un comentario, con los pasos intermedios que se hizo más explícita.

Veamos primero qué sucede si nos acercamos a un punto de $a\in \overline{D}\setminus D$. Aquí, escribo $D=\{(x,y): x,y>0, x+y\le 1\}$, y el cierre es tomado en $\mathbb R^2$.

Me dicen que si teníamos un homeomorphism $\varphi: D\to\mathbb R^2$, $|\varphi(x_n)|\to\infty$ para cualquier secuencia $x_n\in D$ $x_n\to a$ tal $a$. Esto se deduce porque de lo contrario $\varphi(x_n)\to y\in\mathbb R^2$ en una larga, pero esto contradice el hecho de que también se $y=\varphi(b)$ algunos $b\in D$, y, a continuación, un barrio entero de $y$ se obtiene como la imagen de un barrio de $b$, lo $\varphi$ no sería inyectiva.

Así obtenemos un largo continuo surjective mapa de $\varphi: \overline{D}\to S^2$, mediante la asignación de la parte de la frontera que no estaba en la $D$ a empezar con a $\infty$. Ahora el límite de nuestro triángulo $\overline{D}$ obtiene asignada a un Jordania curva de $C$$S^2$, y ahora podemos tomar dos puntos de $a,b\in S^2$ (uno desde el interior y uno de la región exterior de $C$) que no pueden ser combinadas en $S^2$ sin cruzar $C$.

Sin embargo, pueden ser claramente unido a esta moda en $D$, por lo que hemos obtenido una contradicción.

Comentario: Este no muy a la dirección de la pregunta original (que yo no había leído con suficiente atención), muestra que no hay homeomorphism. La continuidad de $\varphi^{-1}$ se utiliza en el tercer párrafo.

Answer 2

Si haces el límite $x+y \lt 1$ como bien dices en un comentario, puede hacer tal bijection porque el conjunto es abierto. En primer lugar su favorito bijection $(0,1) \leftrightarrow \Bbb R$. La mía es $z \leftrightarrow \tan (\pi (z-\frac 12))$. Ahora dado un punto en el triángulo, biject a la Plaza de la unidad abierta en $(x,y) \leftrightarrow (\frac x{1-y}, \frac y{1-x})$, ahora aplica el tramo a $\Bbb R$ independientemente en cada eje.