pregunta elemental sobre el producto tensorial de módulos

Question

Me da un poco de vergüenza preguntar esto, pero me he confundido con lo que creo que es un tema sencillo. Dejemos que $A$ sea un anillo local, $k$ su campo de residuos, y $M,N$ generado finitamente $A$ -módulos. Un ejercicio de Atiyah y Macdonald afirma que si $M \otimes_A N = 0$ Entonces, o bien $M = 0$ o $N = 0$ . Dan una pista en la que utilizan la notación $M_k = M \otimes_A k$ Dice $M \otimes_A N = 0$ implica $(M \otimes_A N)_k = 0$ implica $M_k \otimes_k N_k = 0$ . No comprendo del todo lo que pasó en el segundo paso.

Esto motiva la siguiente pregunta más general: si $A$ es cualquier anillo conmutativo y $B$ un conmutador $A$ -y el álgebra, y $M,N$ son $B$ -módulos, podemos identificar $M \otimes_A N \cong M \otimes_B N$ como, por ejemplo, $A$ -¿Módulos? Creo que esto es muy obvio o muy ingenuo.

Answer 1

No, en general no podemos hacer la identificación evocada en su pregunta más general.
Por ejemplo $A=\mathbb R , B=\mathbb C , M=N =\mathbb C$ . Entonces $\mathbb C \otimes_{\mathbb C} \mathbb C =\mathbb C$ mientras que $\mathbb C \otimes_{\mathbb R} \mathbb C=\mathbb C \times \mathbb C $ .

Pero a veces podemos...

Answer 2

Para el segundo paso, realmente tienes igualdad: $(M \otimes _A N)_k = (M \otimes _A N) \otimes _A (k \otimes _A k) = M_k \otimes _A N_k = M_k \otimes _k N_k$ , de ahí la conclusión.