La suma de Minkowski de un conjunto de medidas positivas de Lebesgue y$\mathbb{Q}$.

Question

Permita que$A\subset \mathbb{R}$ sea de medida Lebesgue positiva, es decir,$\mu(A)>0$. ¿Es entonces cierto que$\mu(\mathbb{R}\setminus (A+\mathbb{Q})) = 0$?

Estoy bastante seguro de que si$\mu(A)>0$, entonces$A-A$ contiene un número racional, así como irracional, pero no estoy seguro de si esto realmente ayuda.

Answer 1

Supongamos por el contrario que el conjunto$ \mathbb R\setminus (A+\mathbb Q)$ tiene una medida positiva. Según el teorema de densidad de Lebesgue, tiene un punto de densidad, llámalo$x$. También elija un punto de densidad de$A$, llámelo$a$. Por un porcentaje suficientemente pequeño$r>0$, tenemos $$ \ mu ((x-2r, x +2r) \ cap (A + \ mathbb Q)) <r $$ y $$ \ mu ((ar, a + r ) \ cap A)> r $$ Let$q$ sea un número racional tal que$|a+q-x|<r$. Entonces$$((a-r,a+r)\cap A)+q \,\subseteq \,(x-2r,x+2r)\cap (A+q) $ $ pero el conjunto de la izquierda tiene una mayor medida, una contradicción.