Hallar el volumen de la región delimitada por $y=x, y=x^2$ alrededor del eje x

Question

Este es el problema en mi libro de texto:

Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por las curvas $y=x, y=x^2$ sobre el eje x.

Esta es mi solución:

Porque la ecuación $x = x^2$ tiene dos raíces : $0$ y $1$ . tenemos:

$$ V= \int_0^1{2\pi x(x^2-x)}dx = \frac{\pi}{6}$$

Pero la solución en mi libro de texto es $\frac{2\pi}{15}$ . Creo que el agujero en mi solución es : No he utilizado the region rotate around x-axis todavía. Pero, no sé cómo utilizar esta declaración en la solución cuando couting volumen.

Gracias :)

Answer 1

Considere el diagrama

Para su problema, esto equivale a girar $R_2$ sobre la línea $y=0$ .

Como ninguna de las curvas toca el eje sobre el que giramos, debemos utilizar arandelas.

Para las arandelas, el volumen viene dado por $$ V = \pi\int^b_a (R(x))^2-(r(x))^2 \ dx$$

Dónde $R(x)$ es la curva más lejos de nuestro eje de rotación - la función superior $y = x$ y $r(x)$ es la curva más cercano al eje de rotación - la función inferior $y=x^2.$

Como has encontrado los puntos de intersección, podemos establecer nuestra integral como

$$V = \pi\int^1_0 (x)^2-(x^2)^2 \ dx$$

$$V = \pi\int^1_0 x^2-x^4 \ dx$$

Después de integrar y evaluar, debería obtener $\frac{2\pi}{15}$ .

Answer 2

Su fórmula debe ser $$V=\pi\int_0^1x^2-(x^2)^2\,dx,$$ que le dará la respuesta correcta. Usted estaba tratando de utilizar el método del cilindro (que sería apropiado si se gira alrededor de la $y$ -), cuando debería haber utilizado el método de la arandela (ya que estamos integrando a lo largo del eje de rotación, en lugar de perpendicular a él).

Answer 3

En este problema, probablemente lo más fácil sea utilizar el método del corte. Sin embargo, si se va a utilizar el método de las "conchas cilíndricas", mientras se gira alrededor de la $x$ -eje, hay que integrar con respecto a $y$ .

Tomar una fina franja horizontal que vaya desde la altura $y$ a la altura $y+dy$ . La franja está más o menos a la altura $y$ . Tiene una longitud $\sqrt{y}-1$ (haz un dibujo). El volumen de la cáscara obtenida al girar esta tira es de aproximadamente $2\pi y(\sqrt{y}-y)\,dy$ . Así, nuestro volumen es $$\int_{y=0}^1 2\pi y(\sqrt{y}-y)\,dy.$$ Así que queremos $$2\pi\int_{y=0}^1 (y^{3/2}-y^2)\,dy.$$ Integrar. Obtenemos $2\pi\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)$ .

Answer 4

El volumen del sólido delimitado por $y= f(x)$ girando sobre el $x$ -El eje es $V=\pi\int_a^b(f(x))^2dx$ . Es decir, se quiere calcular $\pi (\int_0^1x^2dx -\int_0^1x^4dx)$