He estado trabajando en un problema de investigación y se han encontrado con una situación en la que dos matrices $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ son tales que \begin{equation} A^k \mathbf{1} = B^k \mathbf{1} \quad \forall 0 \leq k \leq n \end{equation} donde $\mathbf{1}$ es el vector de unos. Puedo ahora decir algo sobre la relación entre el$A$$B$? Obviamente, ninguna relación explícita la necesidad existe entre los dos. Si $\mathbf{1}$ fueron un autovector de ambos, entonces es claro que las ecuaciones anteriores mantienen. Supongamos $\mathbf{1}$ no eran un autovector de al menos uno de $A,B$. Es posible que las relaciones anteriores para sostener?
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Chris Ballance
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Para tu primera pregunta, esta situación es similar a la siguiente hilo:
Deje $A,B\in M_n(F)$ para algunos algebraicamente cerrado campo de $F$. Supongamos $v\in F^n$ es un vector distinto de cero tal que $A^kv=B^kv$$k=1,2,\ldots,n$. Deje $m_B(x)$ indica que el polinomio mínimo de a $B$. A continuación,$m_B(A)v=0$. Desde $v$ es distinto de cero, $m_B(A)$ debe ser singular. A su vez, $A$ $B$ debe compartir un autovalor $F$.
De todos modos, en su caso, $A,B$ son reales. Por lo tanto, las dos matrices compartir al menos un autovalor real o, al menos, un par conjugado complejo de autovalores.
Ahora, para tu segunda pregunta, la respuesta es sí. E. g. considere la posibilidad de $$ A=\pmatrix{0&1&0&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0}, \ B=\pmatrix{0&-1&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0}, \ v=\pmatrix{0\\ 1\\ 0\\ 1}. $$ A continuación,$Av=Bv=(0,0,1,0)^\top$. Desde $A^2=B^2=0$, también tenemos $A^kv=B^kv$$k=1,2,3,4$. Tenga en cuenta que $v$ no es un autovector de las dos matrices, debido a $A,B$ son nilpotent sino $Av=Bv\ne0$. Ahora, por un cambio de base, podemos transformar $v$ a $\mathbf 1$ y podemos tomar la transformada $A$ $B$ como ejemplos.
