¿Existe un símbolo para integrar y fijar $C=0$ ?

Question

Con demasiada frecuencia es útil limitarse a establecer $C$ a $0$ después de la integración, así que me preguntaba si hay un símbolo para eso?

Formalmente, esto significaría una forma más corta de escribir: $\int_{t_0}^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x), (F(t_0) = 0)$

Esto es útil cuando se integran sumas de integrales y se dividen éstas como en: $\int x^2+2\,\mathrm{d}x$ .

$(1)\quad \int x^2+2\,\mathrm{d}x = \color{green}{\int_{t_0}^x t^2\,\mathrm{d}t}+\color{red}{\int2\,\mathrm{d}x} = \color{green}{\dfrac{x^3}{3}} + \color{red}{2x + C}$

Pero esto cambia la variable de $x$ a $t$ lo cual no es muy agradable. Otra forma es:

$(2)\quad\int x^2+2\,\mathrm{d}x = \color{green}{\int x^2\,\mathrm{d}x}+\color{red}{\int 2\,\mathrm{d}x} = \color{green}{\dfrac{x^3}{3} + C_1} + \color{red}{2x + C_2} = \color{green}{\dfrac{x^3}{3}} + \color{red}{2x} + \color{blue}{C}, \,(\color{green}{C_1}+\color{red}{C_2} = \color{blue}{C})$

Que a veces se escribe simplemente como:

$(3)\quad\int x^2+2\,\mathrm{d}x = \color{green}{\int x^2\,\mathrm{d}x}+\color{red}{\int 2\,\mathrm{d}x} = \color{green}{\dfrac{x^3}{3}} + \color{red}{2x} + \color{blue}{C}$

Pero que me parece que le falta un paso, ya que no explica dónde está el $\color{blue}{C}$ viene de. Si pudiera elegir una antiderivada de la primera integral $\left(\color{green}{\int x^2\,\mathrm{d}x}\right)$ sin una constante, esto estaría bien.

Estaba pensando que tal vez

$(4)\quad \int_{t_0}^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x), (F(t_0) = 0) \overset{_\text{def}}{=} \int_0 f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)$

(Con la propiedad de que $\int_0 f(x)\,\mathrm{d}x + C = \int f(x)\,\mathrm{d}x$ )

$(5)\quad \int x^2+2\,\mathrm{d}x = \color{green}{\int_0 x^2\,\mathrm{d}x}+\color{red}{\int x^2+2\,\mathrm{d}x} = \color{green}{\dfrac{x^3}{3}} + \color{red}{2x + C}$

O en general:

$(6)\quad \int f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0 f_1(x)\,\mathrm{d}x+\int_0 f_2(x)\,\mathrm{d}x+\cdots\int f_n(x)\,\mathrm{d}x$

Entonces, ¿hay tal vez una mejor manera de escribir esto de manera inequívoca, si no: mi propia notación se confundiría en algún lugar? (En cualquier caso, se utilizaría sólo para uso personal).

Gracias de antemano.

Answer 1

No existe tal notación para el ajuste $C=0$ .

Aunque ya hay varias respuestas buenas, creo que una cosa que todos han omitido mencionar es exactamente por qué no existe tal notación.

Creo que el siguiente ejemplo es el que mejor ilustra el problema:

$$\int \sin(2x)\,dx = \int 2\sin(x)\cos(x)\,dx = \sin^2(x)+C$$ donde utilizamos la sustitución: $u=\sin(x)$ y así $du=\cos(x)\,dx$ .

Por otro lado, $$\int \sin(2x)\,dx = \int 2\sin(x)\cos(x)\,dx = -\cos^2(x)+C$$ donde utilizamos la sustitución: $u=\cos(x)$ y así $du=-\sin(x)\,dx$ .

Por supuesto, ambos $\sin^2(x)$ y $-\cos^2(x)$ son antiderivadas de $\sin(2x)$ . Obsérvese que se diferencian por una constante: $\sin^2(x) =-\cos^2(x)+1$ .

Pero con la notación que propones cuál es la que obtenemos cuando $C=0$ ? La respuesta es ambigua.

Para elegir un particular antiderivada tienes que elegir un punto base como: $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ para que $F'(x)=f(x)$ y $F(0)=0$ . Esta es exactamente la opción que ha defendido más arriba. Así que podrías hacer esto. Si esto es lo que quieres, tu notación sería: $F(x)=$ " $\int_0^x f(t)\,dt$ ". Supongo que se podría abreviar esto como " $\int_0^x f$ " y todo el mundo entendería lo que quieres decir.

Sin embargo, al calcular integrales indefinidas, no existe un punto base universalmente aceptado. ¿Por qué? Podría parecer que $x_0=0$ es una buena opción para un punto base, pero no funcionaría para casos como $\int 1/x\,dx = \ln|x|+C$ .

La ambigua notación integral indefinida está ahí porque nos permite ser perezosos y evitar hacer una elección. :)

Answer 2

Si desea específicamente una antiderivada con $F(x_0)=y_0$ en lugar de sólo cualquier antiderivada, parece que es fácil escribir $y_0+\int_{x_0}^x f(t) \, dt$ en lugar de $\int f(x)\,dx$ .

No parece haber mucho espacio para hacer eso significativamente más compacto (especialmente cuando se tiene $y_0=0$ ), por lo que el coste conceptual de tener una notación especializada para este caso probablemente no merecería la pena.

Para sus propias notas privadas puede utilizar, por supuesto, la notación que desee.

Answer 3

Como resultado de los procedimientos de integración se puede obtener cualquier función a partir de todas las funciones que son las antiderivadas. Si quieres que la constante de integración sea siempre fija, te sugiero las siguientes variantes:

1. Utilizar la integral desde cero

$$\int_0^x f(t) dt$$

Esto es bastante estándar si no te molestas mucho, pero la función puede ser indefinida en 0. Esto también responde directamente a tu pregunta, porque quieres que la integral sea cero en cero.

Pero tiene la desventaja de que, por ejemplo, mientras todos los derivados de $e^x$ son iguales a la misma función, $e^x$ la integral será $\int_0^x e^t dt=e^x-1$ para cumplir el requisito. De la misma manera, $\int_0^x \sin t\, dt=1-\cos x$ .

2. Utilizando la integral de $-\infty$

$$\int_{-\infty}^x f(t) dt$$

Sin embargo, esta integral no convergería para la mayoría de las funciones.

3. Utilizando la integral natural

$$\int_N f(x)dx=D^{-1}[f](x)=f^{(-1)}(x)=\frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{- i \omega x}}{\omega} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\omega t}dt \, d\omega$$

Esto fija la constante de integración de la manera más natural, pero para encontrar tales integrales se necesitarían amplios conocimientos en análisis de Fourier. Además la expresión puede no converger siempre o requerir una técnica extendida para tomar una integral generalizada.

Otra fórmula que produce la integral natural para un conjunto diferente de funciones es

$$f^{(-1)}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \sum_{k=0}^m\binom mk(-1)^{m-k}f^{(k)}(x)$$ A veces hay que encontrar la integral natural de una función con un parámetro y luego continuarla analíticamente en la zona de los valores del parámetro cuando las expresiones no convergen.

Dicho esto, la integral natural suele producir la función más sencilla que se desee, por ejemplo,

$$(\sin x)^{(-1)}=-\cos x$$ $$(\cos x)^{(-1)}=\sin x$$ $$(e^x)^{(-1)}=e^x$$ $$(x^a)^{(-1)}=\frac{x^{a+1}}{a+1}$$

Pero puede haber excepciones. Por ejemplo,

$$\left(\frac 1 x\right) ^{(-1)}=\log|x|+\gamma$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

ACTUALIZACIÓN .

La fórmula de Fourier se puede emplear con Wolfram Alpha. Siga el enlace: http://www.wolframalpha.com/input/?i=I+Transformación de Fourier Inversa[Transformación de Fourier[sen+t%2C+t%2C+w]%2Fw%2C+w%2C+x]

y sustituye sin t por cualquier función que quieras.

Answer 4

$C=0$ por sí mismo no impone nada; de ahí que no haya una notación adicional para él. Sólo es después de ha especificado su primitiva preferida que $C=0$ tiene sentido.

Answer 5

Me he dado cuenta de que puedes estar confundido por la necesidad de utilizar varios términos constantes diferentes al sumar integrales y similares. Algunos sistemas de álgebra computacional resuelven este problema de la siguiente manera.

Puede definir un nuevo objeto matemático $\operatorname{const}$ con las siguientes propiedades:

$\operatorname{const}+\operatorname{const}=\operatorname{const}$

$\operatorname{const}\cdot\operatorname{const}=\operatorname{const}$

$\operatorname{const}-\operatorname{const}=\operatorname{const}$

$\operatorname{const}/\operatorname{const}=\operatorname{const}$

$\operatorname{const}+a=\operatorname{const}$

$a\operatorname{const}=\operatorname{const}$

si $a\ne0$ pero

$0\operatorname{const}=0$

etc. Puedes pensar en ello como en una expresión $0/0$ si se quiere, porque cualquier número satisface la ecuación $0x=0$ .

Entonces, al integrar, en lugar de $+C$ , escriba $+\operatorname{const}$ y recordar sus propiedades al realizar manipulaciones.

Para este propósito, por ejemplo, Mathematica tiene un objeto embebido C : http://reference.wolfram.com/language/ref/C.html