Grandes griegos y conmutación

Question

¿Un símbolo de suma o producto, $\Sigma$ o $\Pi$, implica un orden?

Claramente, si $\mathbf{x}_i$ es una matriz entonces:

$$\prod_{i=0}^{n} \mathbf{x}_i$$

depende del orden de la multiplicación. Pero, incluso si uno acepta que tiene una secuencia, no está claro si debería significar $\mathbf{x}_0\mathbf{x}_1 \cdots \mathbf{x}_{n-1}\mathbf{x}_n$ o $\mathbf{x}_n\mathbf{x}_{n-1} \cdots \mathbf{x}_{1}\mathbf{x}_0$.

Una pregunta similar, ¿existe una convención de "gran" producto de cuña?

$$\overset{n}{\underset{i=0}{\Huge\wedge}} \;{}^{\Large{\mathbf{x}_i} \;=\; \mathbf{x}_0 \wedge \mathbf{x}_1 \;\cdots \mathbf{x}_{n-1}\; \wedge \mathbf{x}_{n}} $$

Answer 1

Si quisiera $\mathbf{x}_n\mathbf{x}_{n-1} \cdots \mathbf{x}_{1}\mathbf{x}_0$ lo escribiría como $$\prod_{i=0}^{n} \mathbf{x}_{n-i}$$

Answer 2

Creo que, aunque no esté escrito explícitamente en ninguna parte, la convención $\mathbf{x}_0\mathbf{x}_1 \cdots \mathbf{x}_{n-1}\mathbf{x}_n$ es la más predecible y sensata.

Nunca he visto que se haga explícita la distinción, ya que en la mayoría de las circunstancias la operación involucrada es conmutativa.

Sí vi en algún lugar de m.SE a alguien sugerir $\mathbf{x}_i\prod_{i=1}^n$ para denotar $\mathbf{x}_n\mathbf{x}_{n-1} \cdots \mathbf{x}_{1}\mathbf{x}_0$, pero eso puede haber sido en tono de broma...

Answer 3

Si tus elementos conmutan entre sí, entonces no es necesario un orden en el caso de sumas/productos finitos. En el caso no conmutativo las cosas son más complejas.

De todas formas, en mi opinión no hay necesidad de un orden si la suma/producto no depende del orden. Y esto abarca muchos casos no conmutativos también. De lo contrario, está claro que se debe explicar el orden.

Si escribes $_{i=1}^n$ por convención se entiende que el orden es $1,2,.., n$.

Answer 4

Siempre pensé que $\prod_{i=1}^n x_i$ era un atajo notacional para $x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n$, pero ahora que me haces pensar al respecto, no recuerdo haber visto la definición formal en ninguna parte.