Una desigualdad del cálculo

Question

Que $f \in C^2[a,b]$% y $f(a) = f(b) = 0$, $f'(a) = 1$, $f'(b) = 0$, prueban que $$\int_a^b|f''(x)|^2\,dx \geq \frac{4}{b-a}$ $ observación:

1. Esta pregunta está en el libro de análisis funcional de la Universidad de Pekín;
2. Tenemos $$u(x) = \int_a^xu'(t)\,dt$$so $ | u (x) | ^ 2 \leq (b-a) \int_a^bu'(x) \,dx$ aplicando la desigualdad de Schwartz Cauthy. pero no puedo conseguir el número 4
3. Tengo que construir una función que satisface la condición usando la función cuadrática y el infimum es alcanzado, y $4$ tiene de diferenciar y cuadratura.

Answer 1

Tenemos información local en $a$ $b$ por el comportamiento de $f$, de modo que el uso de la fórmula de Taylor: $$f(x)= f(a) + (x-a)f'(a) + \int_a^x (t-a) f"(t)dt = (x-a) + \int_a^x (t-a) f"(t)dt \\= f(b) - (b-x)f'(b) + \int_x^b (b-t) f"(t)dt = \int_x^b (b-t) f"(t)dt $$ así $$ x-a = \int_a^x (a) f"(t)dt + \int_x^b (b-t) f"(t)dt\le \sqrt{\int_a^b f"(t)^2 dt} \sqrt{\int_a^x (a)^2 dt + \int_x^b (b-t)^2 dt}\\= \sqrt{\int_a^b f"(t)^2 dt}\sqrt{ \frac{(x-a)^3}3 + \frac{(b-x)^3}3 } $$ ahora tome $x = \frac 13(a+2b)$ da un resultado óptimo.