$[1-x_n]^{n}\to 1$ implica que $n x_n\to 0$ como $n\to\infty$ ?

Question

Como dice el título $[1-x_n]^{n}\to 1$ implica que $n x_n\to 0$ como $n\to\infty$ ?

Sabemos que $\left(1+\frac{x}{n} \right)^n \to e^x$ como $n\to\infty$ . Esto implica (no sé por qué) que $\left(1+\frac{x}{n} +o(1/n) \right)^n \to e^x$ .

Así que el resultado se obtiene ya que debemos tener que $x_n=\frac{x}{n}+o(1/n)$ donde $x=0$ ?

Answer 1

Para $n$ sea lo suficientemente grande, tenemos $(1-x_n)^n >0$ (ya que converge a 1).

Podemos decir entonces que $n \log(1-x_n)$ tiende a cero. Necesariamente $\log(1-x_n)$ tiende a cero.

Así que $x_n$ tiende a cero y tenemos que : $ \quad \log(1+x) \underset{0}{\sim} x$

Entonces $nx_n \to 0$ .

Answer 2

Para $\epsilon>0$ tenemos $\left(1-\frac{\epsilon}{n}\right)^{n}\rightarrow e^{-\epsilon}<1$ y $\left(1+\frac{\epsilon}{n}\right)^{n}\rightarrow e^{\epsilon}>1$ .

Así que $\left(1-\frac{nx_{n}}{n}\right)^{n}=\left(1-x_{n}\right)^{n}\rightarrow1$ nos dice que eventualmente $-\epsilon<nx_{n}<\epsilon$ .