Hay una función que es continua pero no diferenciable

Question

Tengo una función que es una serie convergente:

$$f(x) = \sin(x) + \frac{1}{10}\sin(10x) + \frac{1}{100}\sin(100x) + \cdots \frac{1}{10^n}\sin(10^nx)$$

Esta función es convergente porque para cualquier E cuidado de especificar, la función tiene un término que es más pequeño que la E. Sin embargo, la función no es diferenciable, y no entiendo por qué.

$$\frac{d}{dx}f(x) = \cos(x)+\frac{10}{10}\cos(10x) + \frac{100}{100}\cos(100x) + \cdots \frac{10^n}{10^n}\cos(10^nx)$$

¿Este es un caso especial para Una función diferenciable en ninguna parte continuo ?

Answer 1

Primera nota de que $\sum a_k$ es absolutamente convergente si $$\sum \left|a_k\right|\Rightarrow \mbox{converges}$$ Desde convergencia absoluta implica la convergencia, a continuación, vamos a comprobar para la convergencia absoluta $$ \sum\limits_{k=0}^n \left|\frac{\sin\left(10^kx\right)}{10^k}\right|$$ Primera nota de que $$ \left|\sin\left(10^kx\right)\right|\leq 1 $$ $$ \frac{\left|\sin\left(10^kx\right)\right|}{\left|10^k\right|} \leq \frac{1}{\left|10^k\right|} $$ $$ \left|\frac{\sin\left(10^kx\right)}{10^k}\right| \leq \left|\frac{1}{10}\right|^k $$ Desde $\left|\frac{1}{10}\right|\lt 1$, luego por la serie geométrica prueba, $$ \sum\limits_{k=0}^n \left|\frac{1}{10}\right|^k \Rightarrow \mbox{converges} $$ Lo que implica que $$ \sum\limits_{k=0}^n \left(\frac{1}{10}\right)^k \Rightarrow \mbox{converges absolutely} $$ Por lo tanto, mediante la comparación directa de la prueba, hemos $$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{\sin\left(10^kx\right)}{10^k} \Rightarrow \mbox{converges absolutely}$$ Ahora vamos a hablar acerca de la diferenciabilidad de $f(x)$. Si tomamos la derivada de cada término de la suma, vamos a terminar con la $$ \sum\limits_{k=0}^n \cos\left(10^kx\right) $$ Ahora vamos a demostrar que esta serie diverge. Tenga en cuenta que $$ -1\leq \cos\left(10^nx\right) $$ Desde $$ \lim\limits_{n\to\infty} 1=1\not=0 $$ A continuación, por la divergencia de prueba $$ -\sum\limits_{k=0}^n 1\Rightarrow \mbox{diverges} $$ Por lo tanto, mediante la comparación directa de la prueba $$ \sum\limits_{k=0}^n \cos\left(10^kx\right) \Rightarrow \mbox{diverges}$$ Así que, aunque cada término de $f(x)$ es diferenciable y la suma de cada término es convergente, la suma de las derivadas de cada término no convergen. Este hecho hace que el $f(x)$ no función derivable.

Answer 2

Observe que si usted enchufe $x=k\pi$, donde $k$ es cualquier número entero, el derivado de la función, obtienes $\infty$, lo que la derivada discontinua. Esto, en otras palabras, significa que la función no es diferenciable.