Inversa de la derivada parcial

Question

Buenas tardes a todos,

Estoy publicando una pregunta similar pero diferente con respecto a este puesto .

Tengo dos vectores $a \in \mathbb{R}^M$ y $b \in \mathbb{R}^N$ . Supongamos que conozco la derivada parcial $\frac{\partial a}{\partial b} \in \mathbb{R}^{M\times N}$ y, a partir de ahí, me gustaría saber su inversa $\frac{\partial b}{\partial a} \in \mathbb{R}^{N \times M}$ . Supongamos también que las funciones son continuas y diferenciables.

Me gustaría saber si existe una relación entre los dos mapas porque sé que, si ambos vectores son de las mismas dimensiones, es válido que $\frac{\partial b}{\partial a} = \left(\frac{\partial a}{\partial b}\right)^{-1}$ . En mi caso, ¿tengo que utilizar el pseudoinverso de Moore-Penrose? ¿O hay alguna solución más elegante?

Además, personalmente creo que es un error ajustar el cómputo anterior para los vectores.

$\frac{\partial b_j}{\partial a} = \left(\frac{\partial a}{\partial b_j}\right)^{-1}$

para cualquier componente de $b$ . Aquí obtengo un vector $\in \mathbb{R}^{1 \times M}$ que debería obtener con la pseudoinversa. Creo que el apilamiento de estos vectores ( $j \in 1,\dots,N$ ) es diferente de la primera solución que propuse al principio. Creo que esto es incorrecto. ¿Estoy en lo cierto?

También creo que la informática $\frac{\partial b_j}{\partial a_i} = \left(\frac{\partial a_i}{\partial b_j}\right)^{-1}, \forall i \in \{1,\dots,M\}, j \in \{1,\dots,M\}$ y componiendo correctamente la derivada es errónea. En otras palabras: $\left(\begin{matrix} \frac{\partial b_1}{\partial a_1} & \dots & \frac{\partial b_1}{\partial a_M} \\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial b_N}{\partial a_1} & \dots & \frac{\partial b_N}{\partial a_M} \end{matrix}\right)$ . ¿Tengo razón en que esto es un error?

Gracias de antemano por cualquier respuesta. Saludos cordiales, Neostek

P.D. Sólo para saber, la razón por la que los dos vectores son de diferente dimensionalidad es que $a$ es un cuaternión unitario en $\mathbb{R}^4$ (incluso si tiene una restricción de 1-dim) mientras que $b$ es un vector estándar en $\mathbb{R}^3$ .

Answer 1

En primer lugar, creo que deberías ser un poco más preciso: Si tienes dos vectores simples $a$ y $b$ de alguna dimensión, entonces $\partial a/\partial b$ es indefinido o se puede considerar la matriz cero, porque la diferenciación siempre necesita una función que se está diferenciando.

Pero supongo que querías decir algo así como Tienes una función diferenciable $b\colon \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ para que puedas considerar el diferencial $d b(a)/da$ . (Sólo escribo diferencial ' $d$ ' en lugar de ' $\partial$ ', porque no hay otros argumentos para $b$ en mis consideraciones aquí. Pero lo mismo ocurre, si $b$ tiene más argumentos).

Usted ha preguntado sobre " ". $\partial a/\partial b$ ' que supongo que significa algo así como: Hay una función inversa $b^{-1}\colon U\subset\mathbb R^n \to \mathbb R^m$ a la función $b$ y quieres saber algo sobre $db^{-1}/dc$ con $c\in U$ . Pero sabemos que para que $db^{-1}/dc$ de existir, $b$ debe ser inyectiva y $b^{-1}$ tiene que ser diferenciable. Esto significa que $b$ (o su restricción a algún subconjunto de $\mathbb R^m$ ) debe ser un difeomorfismo. Pero esto significa que $\dim \mathbb R^m = \dim b(\mathbb R^m)$ . Si $n<m$ esto es imposible. Si $n=m$ Ya sabes lo que tienes que hacer. Si $n>m$ entonces sabes que $\dim b(\mathbb R^m) = m$ Así que $b$ se asigna a un $m$ -espacio dimensional. Este debe ser un colector. Así que puedes aplicar el teorema de la función inversa para los colectores.

Siento que no sea tan fácil.