Si $1/x-1/y=1/z$, donde $x,y,z$ son números enteros positivos, probar que $xyz\gcd(x,y,z)$ es un cuadrado perfecto

Question

Encontré que $(z+y)(z-x)=z^2$ pero no sé cómo seguir

Answer 1

Deje que el mcd de los tres números para ser $d$.

A continuación, $x=dx_0$ y $y=dy_0$ $z=dz_0$ donde $x_0$ $y_0$ $z_0$ son relativamente primos.

por rewritting la condición en $x,z,y$, podemos obtener

$yz-xz=xy$

Ahora, sustituir las variables en el último ecuaciones como este

$d^2y_0z_0-d^2x_0z_0=d^2x_0y_0$

después de la cancelación de $d$, de ambos lados

$y_0z_0-x_0z_0=x_0y_0$

Ahora, de acuerdo a la última ecuación

$x_0|y_0z_0-x_0z_0$

por lo tanto

$x_0|y_0z_0$

pero $x_0$ $y_0$ $z_0$ son relativamente primos.por eso, $x_0=1$

con el mismo argumento de $y_0=1$ $z_0=1$

ahora considere la posibilidad de la multiplicación de nuevo

$gcd(x,y,z)xyz=d^4x_0y_0z_0=d^4$