Aplicación del teorema de la categoría de Baire en el plano de Moore

Question

La prueba de que El avión de Moore no es normal he leído fue utilizando el teorema de anidamiento de Cantor. Pero he oído que también es posible utilizar el teorema de la categoría de Baire para demostrar y quiero saber cómo.

Así que, como de costumbre, empezamos por fomentar dos conjuntos

$$Q = \{(x,0):x\in\mathbb{Q}\}$$ y $$P = \{(x,0):x\in\mathbb{P}\} $$

donde $\mathbb{Q}$ es un número racional y $\mathbb{P}$ es irracional.

Entonces, ¿cómo proceder al siguiente paso? También se agradecerá cualquier referencia.

Salud.

Answer 1

La prueba es por contradicción: Suponemos que hay conjuntos abiertos disjuntos $U,\, V$ en el plano de Moore que contiene $Q$ y $P$ respectivamente.

Dejemos que $F_n$ sea el conjunto de puntos en $\mathbb P$ para el que la bola de radio $1/n$ alrededor de $(x,1/n)$ está contenida en $V$ .

De una aplicación de Baire se deduce que hay alguna $n$ para lo cual $\overline F_n$ tiene un interior no vacío. Por tanto, existe un intervalo abierto $I\subset \overline F_n$ . Ahora elige un punto racional en $I$ y demostrar que toda vecindad abierta de este punto interseca $V$ (se cruza con algunas de las bolas alrededor de $(x,1/n)$ ).

Esto contradice la suposición de que $U$ y $V$ son disjuntos.