Integrabilidad y Fubini

Question

Supongamos que$f$ es integrable en$R^d$. Para cada$\alpha>0$, deje$E_a = \{x:|f(x)|>\alpha\}$. Entonces, si existe esto: $$ \ int_ {R ^ d} ^ \ | f (x) | dx = \ int_0 ^ \ infty m (E_ \ alpha) d {\ alpha} $$

Answer 1

Sí lo hace. Debe tomar la medida del producto de$\mathbb{R}^d\times (0,\infty) $ que es decir$ m\otimes \lambda $ donde$\lambda $ es la medida de lebesgue de 1 dimensión. Luego, deje$ E = \{(x,\alpha)\in \mathbb{R}^d\times (0,\infty)\ |\ |f(x)|> \alpha\} $, luego tiene las secciones correspondientes, ya que la sección$\alpha $ de eso es como se dio$ E_\alpha = \{ x\in \mathbb{R}^d\ |\ (x,\alpha) \in E\} $ y la sección$x$$ E_x = \{\alpha \in (0,\infty)\ |\ (x,\alpha) \in E\} = (0,|f(x)|) $ Luego use fubini para conluir ( en su notación$dm = dx$ y$d\lambda = d\alpha$ y observe$\lambda(E_x) = |f(x)| $)$$ (m\otimes \lambda) (E) = \int_{\mathbb{R}^d}\lambda(E_x)dm = \int_{(0,\infty)} m(E_\alpha)d\lambda $ $ Lo que le da$$ \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|dx = \int^\infty_0 m(E_\alpha)d\alpha $ $

Answer 2

Les voy a mostrar esto para $d=1$$f > 0$, por conveniencia notacional. $\lambda$ denota la medida de lebesgue en $\mathbb{R}$. Entonces usted tiene $$ \int_\mathbb{R} f \,dm = \int_\mathbb{R} \lambda([0,f(x)]) \,dm(x) = \int_\mathbb{R} \int_{[0,f(x)]} \,d\lambda \,dm(x) \desbordado{(Fubini)}= \int_A \,d(\lambda\times m) $$ donde $$ A := \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \,:\, 0 \leq y \leq f(x)\right\} = \bigcup_{y > 0} \left(E_a \times \{y\}\right) \text{ para } E_y = \left\{x \in \mathbb{R} \,:\, f(x) > y\right\} \text{.} $$ Using that you can continue with $$ = \int_A \,d(\lambda\times m) \desbordado{(Fubini)}= \int_{\mathbb{R}^+} \int_{E_y} \dm \,d\lambda(y) = \int_{\mathbb{R}^+} m(E_y) \,d\lambda(y) \text{.} $$ Para los dos Fubini aplicaciones para ser válida, usted necesita $\int_A \,d(\lambda\times m) < \infty$. Para un $\sigma$-finito de medida $m$ la existencia de la integral está garantizada por la existencia de $\int_\mathbb{R} \int_{[0,f(x)]} \,d\lambda \,dm(x)$ y por lo tanto por la existencia de $\int_\mathbb{R} f \,dm$.

Answer 3

Esto se deduce de la integración con respecto a la medida$m$ en$\mathbb R^d$ las partes más a la izquierda y más a la derecha de la identidad $$ | f (x) | = \ int_0 ^ {| f (x) |} \ mathrm d \ alpha = \ int_0 ^ \ infty \ mathbf 1 _ {\ alpha \ lt | f (x) |} \, \ mathrm d \ alpha = \ int_0 ^ \ infty \ mathbf 1_ {x \ en E_ \ alpha} \, \ mathrm d \ alpha. $$ Por lo tanto, Fubini para funciones no negativas en$\mathbb R^d$ produce $$ \ int _ {\ mathbb R ^ d} | f (x) | \, m (\ mathrm dx) = \ int_0 ^ \ infty m (E_ \ alpha) \, \ mathrm d \ alpha. $$