multicelular de función inversa

Question

Supongamos que estrictamente es aumento de $f:[0,\infty)\to [0,\infty)$ $f(0)=0$ y se da explícitamente como una combinación de funciones elementales. ¿Cómo encontrar el multicelular de $f^{-1}(x)$ $x\to 0$ si usted no puede invertir $f$ explícitamente? Por multicelular significo una función elemental $g$ definida en un intervalo de $(0,\epsilon)$ tal que $\lim_{x\downarrow 0}\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}=1$.

Answer 1

El método propuesto por Greg Martin puede ser fácilmente justificado para algunos casos típicos, por ejemplo, si $f(x)\sim g(x)$ $g(x)=Cx^p$ algunos $p>0$$C>0$.

En efecto, supongamos que $f(x)=g(x)q(x)$$g(x)=Cx^p$$q(x)\to1$. Entonces $$x=(f(x)/C)^{1/p} p(x)^{-1/p} \sim (f(x)/C)^{1/p}.$$ Por lo tanto,$f^{-1}(y)\sim (y/C)^{1/p}=g^{-1}(y)$$y\to0$.

La situación cambia si $f$ $g$ converge a cero muy lentamente. Aquí es un ejemplo de $f$$g$$f/g\to1$$f^{-1}/g^{-1}\not\to1$. Poner $$f(x)=\frac{1}{\log(1/x)},\qquad g(x)=\frac{1}{\log(7/x)}.$$ Entonces $$f^{-1}(y)=e^{-1/y},\qquad g^{-1}(y)=7e^{-1/y}.$$ En este ejemplo $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1,\qquad \lim_{y\to0}\frac{g^{-1}(y)}{f^{-1}(y)}=7.$$