Teorema de Casorati-Weierstrass

Question

El teorema dice:

"Supongamos que $z_0$ es una singularidad aislada esencial de $f(z)$. Entonces para cada número complejo $w_0$, existe una secuencia $z_n\rightarrow z_0$ tal que $f(z_n)\rightarrow w_0".

La función $f(z)=e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $z=0$. ¿Puede alguien demostrar el teorema anterior proporcionando una secuencia de números complejos $z_n$ de manera que:

$$z_n\rightarrow 0 \qquad\text{y}\qquad f(z_n)\rightarrow 10$$

Y quizás un segundo ejemplo donde:

$$z_n\rightarrow 0 \qquad\text{y}\qquad f(z_n)\rightarrow 1+i$$

Gracias.

Answer 1

Sea $\ln(10)$ el logaritmo natural real de 10. Entonces para $$z_n = \frac{1}{\ln(10) + 2\pi n i}$$ tenemos que $z_n \to 0$ y $f(z_n) = 10$. Puedes hacer lo mismo para $1 + i$ reemplazando $\log(10)$ con cualquier número tal que $e^z = 1 + i$.

Como comentario, por el teorema de Picard, hay a lo sumo un número complejo $w_0$ con la propiedad de que no podemos elegir $z_n \to z_0$ con $f(z_n) = w_0$. En este caso es $0$.