aplicación de fuerte vs débil ley de los grandes números

Question

Por definición, la debilidad de la ley establece que para una determinada gran $n$, el promedio es probable que cerca de $\mu$. Por lo tanto, deja abierta la posibilidad de que $|\bar{X_n}-\mu| \gt \eta$ ocurre un número infinito de veces, aunque poco frecuentes intervalos.

El fuerte de la ley muestra que esta casi seguro que no va a ocurrir. En particular, esto implica que con probabilidad 1, tenemos que para cualquier $\eta > 0$ la desigualdad de $|\bar{X_n}-\mu| \lt \eta$ tiene para todos lo suficientemente grande como $n$.

Ahora mi pregunta es la aplicación de estas leyes. ¿Cómo sé que la distribución satisface la fuerte ley vs la ley débiles. Por ejemplo, considere una distribución $X_n$ ser iid con finito de varianzas y cero significa. Hace la media de $\frac{\sum_{k=1}^{n} X_k}{n}$ convergen a $0$ casi seguramente (fuerte de la ley de los grandes números) o sólo en la probabilidad (la debilidad de la ley de los grandes números)?

Answer 1

De la sección 7.4 de Grimmett y de Stirzaker probabilidad y procesos aleatorios (3ª edición).

Cumple con el % de secuencia independientes e idénticamente distribuidos $(Xn)$, con función de distribución común $F$, $${1\over n} \sum{i=1}^n X_i\to \mu$$ in probability for some constant $\mu$ if and only if the characteristic function $\phi$ of $X_n$ is differentiable at $t=0$ and $\phi^\prime (0) = i \mu$.

Por ejemplo, la ley débil sostiene pero la ley fuerte no $\mu=0$ y simétricas variables aleatorias con $1-F(x)\sim 1/(x\log(x))$ $x\to\infty$.

Answer 2

Si $X_1,X2,\ldots$ es una secuencia de i.i.d. variables al azar con finito % media $\mu$(en tu ejemplo, $\mu = 0$), luego por la ley fuerte de grandes números, $\frac{{\sum\nolimits{i = 1}^n {Xi } }}{n}$ converge a $\mu$ casi con toda seguridad. En particular, $\frac{{\sum\nolimits{i = 1}^n {X_i } }}{n}$ converge a $\mu$ en la probabilidad. Por lo tanto, realmente no tienes que asumir varianza finita.