Uso de Bézout ' s identidad para probar que dado el $\gcd$ de dos números es realmente cierto

Question

Tengo que demostrar que

$$ \gcd(n!+1,(n+1)!+1) = 1 $$

En clase, el profesor nos aconsejó el uso de la Identidad de Bézout. Así que escribí la siguiente

$$ x(n!+1) + y[(n+1)! + 1] = 1 $$

Pero a partir de ahí estoy en una pérdida.

Para hacer la pregunta más genérica: no entiendo cómo la Identidad de Bézout me puede ayudar a demostrar que el $\gcd$ de dos números es realmente $n$.

Ejercicios anteriores yo tenía que demostrar que era mucho más sencillo, por ejemplo, tenía que probar que $\gcd(2n+1, 3n+1) = 1$. En este caso, sólo traté de encontrar $x$ $y$ que hacer la declaración de la $x(2n+1) + y(3n+1) = 1$ cierto. Y por la búsqueda de cualesquiera dos enteros, comprendí que me había proporcionado pruebas suficientes. Pero no hice ninguna de matemáticas para encontrar $x$ $y$ en el caso más sencillo... o hice, pero no entiendo lo que me hizo... de todos modos, yo sólo podía "ver", de inmediato, que si $x=3$$y=-2$, entonces el iba a trabajar.

Me puede ayudar a entender cómo utilizar la Identidad de Bézout en las pruebas de cualquier tipo? Creo que no lo estoy usando correctamente.

Answer 1

Sugerencia:

• $(n+1)\cdot(n!+1)-\left[(n+1)!+1\right]=\color{red}n$
• $(n!+1)-(n-1)!\cdot \color{red}{n}=1$

Answer 2

Yo no los uso "de Bézout" directamente. Deje $d$ ser un divisor de ambos. A continuación, $d$ divide $(n+1)(n!+1)$$(n+1)!+1$. Así que divide su diferencia, que es $n$.

Pero si $d$ divide $n!+1$$n$, se divide $1$.

Ahora, si lo desea, puede trabajar hacia atrás, y encontrar los multiplicadores. Pero no necesitamos de ellos para demostrar relativa de primalidad.

Comentario: En un sentido, lo que hemos hecho es muy similar al procedimiento descrito. Utilizó $x$ $y$ a deshacerse de la fea parte. Hicimos lo mismo en el primer paso, deshacerse de el factorial cosas.