No es igual a

Question

$ \forall x,y>0 $, entonces $$ |x\sin\frac{1}{x}-y\sin\frac{1}{y}|\leq\sqrt 2\sqrt{|x-y|} $ $

¿Es $\sqrt 2$ el mínimo número real positivo tal que sostiene la desigualdad?

Intento aplicar el Teorema del valor, pero sin éxito, $f'$ es ilimitada cerca de cero

Un problema relacionado se puede encontrar en Mensual matemática americana 6 (junio-julio de 1941), págs. 413-414

Answer 1

Puedo sugerir una estrategia que creo que podría funcionar.

En primer lugar, me gustaría hacer la sustitución $x\to1/x$, $y\to1/y$. La desigualdad se convierte en: $$ \frac{\sin (x)}{x}-\frac{\sin (y)} de{y}\leq \sqrt{2 \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)}$$ donde se me ha caído el valor absoluto para mejorar la legibilidad. Ahora, considere la forma de la función de $\frac{\sin (x)}{x}$. Es extremos locales son cada vez más pequeños; vamos a denotar con $x_i$. Por lo tanto, si tenemos $y-x$ que es "grande" siempre podemos encontrar una $z$ tanto $x$ $z$ pertenecen a la misma $[x_i,x_{i+1}]$ intervalo y $f[z]=f[y]$. Efectivamente esto significa que el lado izquierdo de la desigualdad sigue siendo el mismo pero la RHS disminuye.

Esto muestra que es suficiente para demostrar la desigualdad cuando ambos $x$ $y$ pertenecen a la misma $[x_i,x_{i+1}]$ intervalo - lo que significa que están cerca el uno del otro.

En este caso, supongo, se puede utilizar con éxito la expansión de Taylor de $\frac{\sin (x)}{x}$ $2k\pi$ con 4 términos y demostrar la desigualdad.