¿Es $H^*(\mathbf{C} P^\infty)=R[X]$ o $R[[X]]$?

Question

El primer anillo que parece ser lo que uno aprende en primer lugar: el grupo subyacente es el cohomology del total de singular cochain compleja $C^*(\mathbf{C} P^\infty)$, el cual es definido como:$\oplus C^n(\mathbf{C} P^\infty)$, por lo que no podemos obtener la potencia de la serie ring.

Por otro lado, con el tiempo uno aprende que cohomology es en realidad un representable functor en el establo de la categoría. Desde $\mathbf{C} P^\infty=\varinjlim \mathbf{C} P^n$, quizás debería haber $H^*(\mathbf{C} P^\infty)=\varprojlim H^*(\mathbf CP^n)=R[[X]]$. A primera vista, este es un salto lógico de $H^n$ ser representable como un functor a $R$-módulos de a $H^*$ ser representable como un functor a $R$-álgebras, pero creo que, en realidad, sigue abstractos tonterías por la connaturalidad de la estructura de anillo en homs viniendo de un anillo de objeto.

Por supuesto, todo esto podría ser generalizado a cualquier infinito-dimensional CW complejo, o más, y para más general cohomology teorías $E$. Lo traigo a colación porque la distinción parece, en este caso parece a la materia de complejo bordism teoría y, en general, complejo orientado a la cohomology teorías. Específicamente, un complejo de orientación da lugar a un grupo formal de la ley en $E^*(\mathbf{C}P^\infty\times\mathbf{C} P^\infty)$, que sólo tiene sentido si el último es una potencia de la serie ring, no es un polinomio de anillo. Pero de ordinario cohomology es complejo orientado, así que a ver de nuevo a $H^*(\mathbf{C}P^\infty)$ debe ser la alimentación de la serie ring.

Parece que el argumento a favor de las $R[[X]]$ es más sólido. Pero esto implicaría que el singular complejo de cadena en realidad no se el modelo de la cohomology de un espacio, y parece causar problemas con el modelado de los espacios en general a través de $A^\infty$-álgebras, que son, en particular, álgebras graduadas, es decir, directa sumas de sus términos...y no queremos ser capaces de hacer esto? Tal vez en realidad queremos diferentes anillos en diferentes situaciones? Tal vez me estoy perdiendo algo importante en el segundo párrafo? Color me confunde! Gracias de antemano a cualquiera que pueda aclarar esto.

EDIT: Lurie parece escribir ambas posibilidades en las mismas notas de la conferencia: en el segundo párrafo aquí, el polinomio anillo, mientras que aquí, en el Ejemplo 5 se muestra que el común de los cohomology es complejo orientable combinado con el Ejemplo 8 se daría el poder de la serie ring.

Answer 1

Depende de lo que quieres hacer. Vale la pena señalar que usted puede pensar acerca de $H^{\bullet}(X, \mathbb{Z})$ (decir) únicamente como un anillo graduado, por lo que se refiere a una secuencia $R_0, R_1, \dots$ de abelian grupos junto con una operación $R_n \times R_m \to R_{n+m}$ satisfactorio etc. En particular, esta definición no requiere que yo me comprometo a una elección de olvidadizo functor de graduado anillos sin anillos. Hay al menos dos functors yo podría escribir:

• $\bigoplus_i R_i$ , $\mathbb{CP}^{\infty}$ me $\mathbb{Z}[x]$, o
• $\prod_i R_i$ , $\mathbb{CP}^{\infty}$ me $\mathbb{Z}[[x]]$.

Hay varios argumentos a favor de las $\prod_i H^i(X, \mathbb{Z})$ siendo la cosa que usted realmente desea. El básico es que hay muchas situaciones en la que desea escribir sumas de cohomology clases (por ejemplo, característico de las clases) que viven en las grandes anillo más bien que el anillo más pequeño. La historia sobre el complejo cobordism y grupo formal de las leyes es un grande, pero hay otros más simples: por ejemplo, la Chern carácter de un vector paquete de vidas en este anillo más grande (tensored con $\mathbb{Q}$). De manera más abstracta, $\prod_i H^i(X, \mathbb{Z})$ tiene la ventaja de ser representable por un espacio, es decir, el correspondiente producto $\prod_i B^i \mathbb{Z}$ de Eilenberg-MacLane espacios.

(Por cierto, esto es no lo que la gente quiere decir cuando dicen que cohomology es representable en el establo de la categoría. Lo que significa es que hay un espectro de $H \mathbb{Z}$ de manera tal que el espectro de los mapas de (la suspensión del espectro de) un espacio de $X$ a $H \mathbb{Z}$ es un espectro cuyo homotopy grupos de reproducir el cohomology grupos $H^i(X, \mathbb{Z})$. Lo que es representable es un functor que las salidas de los espectros, no clasificados abelian grupos).

Pero esto implicaría que el singular complejo de cadena en realidad no se el modelo de la cohomology de un espacio

Implica nada de eso; singular cohomology le da un anillo graduado en el anterior sentido, y como se ha mencionado usted no necesita comprometerse con una opción de olvidadizo functor abajo a la enseñanza de los anillos para decir esto.

y parece causar problemas con el modelado de los espacios en general a través de $A^{\infty}$-álgebras

¿Te refieres a pensar en un espacio de $X$ en términos de cochains $C^{\bullet}(X, \mathbb{Z})$$X$? De nuevo, este es un graduado de objeto y no necesita comprometerse con una opción de olvidadizo functor abajo a la enseñanza de los objetos.

Answer 2

El límite se tomaría en la categoría de anillos graduados. $R[[X]]$ no es un anillo graduado.