Doble suma, aclaración del cambio de índice.

Question

Como mi profesor no es realmente útil y sólo escribe en la pizarra y no explica lo que hace, tengo una pregunta: ¿Cómo obtuvo esto?
$$... = \sum_ {k=2}^{n} \sum_ {j=1}^{k-1} \frac {1}{k-j} = |_{m=k-j} \sum_ {m=1}^{n-1} \sum_ {k=m+1}^{n} \frac {1}{m} = ...$$

He estado tratando de averiguar de dónde sacó esos índices de suma, pero aún no tengo idea. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Déjame presentarte la convención de Iverson: $[condition]$ es 1 si $condition$ es verdadero, 0 (mucho, por lo que multiplicado por $\infty$ sigue dando 0) en caso contrario. También me gusta escribir sumas dando condiciones sobre sus índices como "subíndice", que pone todo junto y también hace que sea fácil de escribir sumas, por ejemplo, sobre los elementos de un conjunto, no sólo aburrido 1, 2, 3, ..., $n$ los. Si no hay condiciones en el índice, cualquier cosa va allí. Si es útil, se pueden combinar varias sumas en una sola sobre una colección de índices.

En esos términos: $$\sum_{2 \le k \le n} \sum_{1 \le j \le k - 1} \frac{1}{k - j} = \sum_k [2 \le k \le n] \sum_j [1 \le j \le k - 1] \frac{1}{k - j} \\ = \sum_{j, k} [2 \le k \le n] \cdot [1 \le j \le k - 1] \cdot \frac{1}{k - j}$$ Podemos hacer malabares con las sumas, ya que el exterior $[]$ no depende de $j$ . Y como las sumas han no condiciones una vez que las trasladamos a $[]$ El orden de los mismos es indiferente.

Ahora $[2 \le k \le n] \cdot [1 \le j \le k - 1]$ es 1 si ambas condiciones son verdaderas, es decir, podemos combinar/reorganizar/separar: $$[2 \le k \le n] \cdot [1 \le j \le k - 1] = [1 \le j < k \le n] = [1 \le j < n] \cdot [j < k \le n]$$ Después de hacer los mismos pasos anteriores a la inversa, se obtienen las sumas reordenadas: $$\sum_{1 \le j \le n - 1} \sum_{j + 1 \le k \le n} \frac{1}{k - j}$$

Answer 2

Simplemente ha hecho la sustitución $m=k-j$ que escribió junto al signo de igualdad. Es fácil ver que eso convierte $\frac1{k-j}$ en $\frac1m$ . Para ver lo que hace a la indexación de las sumas, mira los pares $\langle k,j\rangle$ para el que la primera suma doble tiene realmente términos:

$$\begin{array}{c|cc} k\backslash j&1&2&3&\dots&n-1\\ \hline 2&\frac1{2-1}\\ 3&\frac1{3-1}&\frac1{3-2}\\ 4&\frac1{4-1}&\frac1{4-2}&\frac1{4-3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ n&\frac1{n-1}&\frac1{n-2}&\frac1{n-3}&\cdots&\frac11 \end{array}$$

Cuando $m=k-j$ es $1$ obtenemos los términos de la diagonal superior; cuando es $2$ obtenemos los términos de la segunda diagonal; y así sucesivamente, hasta el único término $\frac1{n-1}$ con denominador $n-1$ en el $(n-1)$ -diagonal. La doble suma en el lado derecho, entonces, es la suma por diagonales. La primera, o $m=1$ La diagonal tiene $n-1$ términos; el segundo tiene $n-2$ términos; y en general el $m$ -a tiene $n-m$ términos. Estos términos son todos $\frac1m$ para que podamos saltar directamente a $$\sum_{m=1}^{n-1}\frac{n-m}m\;,$$ pero tu instructor dio un paso intermedio que no requiere dibujar (o al menos imaginar) la matriz de arriba.

Si $m=k-j$ entonces $j=k-m$ y

$$\sum_{k=2}^n\sum_{j=1}^{k-1}\frac1{k-j}=\sum_{k=2}^n\sum_{k-m=1}^{k-1}\frac1m\;.$$

Ahora $m=k-(k-m)$ , por lo que como $k-m$ corre de $1$ a $k-1$ , $m$ corre de $k-1$ a $k-(k-1)=1$ . Y ciertamente podemos sumar esos términos en el orden inverso sin afectar al total, por lo que

$$\sum_{k=2}^n\sum_{k-m=1}^{k-1}\frac1m=\sum_{k=2}^n\sum_{m=1}^{k-1}\frac1m\;.$$

Ahora sólo hay que invertir el orden de la suma: si se observan todos los términos de la suma doble, se ve que $m$ puede ser cualquier cosa, desde $1$ a través de $n-1$ y para cada $m$ , $k$ puede ser cualquier cosa, desde $m+1$ a través de $n$ Así que

$$\sum_{k=2}^n\sum_{m=1}^{k-1}\frac1m=\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=m+1}^n\frac1m\;.$$

(Este paso es como invertir el orden de integración en el cálculo.) Finalmente, para cada $m$ hay $n-m$ valores de $k$ Así que

$$\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=m+1}^n\frac1m=\sum_{m=1}^{n-1}\frac{n-m}m=n\sum_{m=1}^{n-1}\frac1m-\sum_{m=1}^{n-1}1=nH_{n-1}-(n-1)\;,$$

donde $H_{n-1}$ es el $(n-1)$ -Sta. número armónico .