El converge de $ \sqrt { 2 } +\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } +\sqrt { 2-\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } + ...=$

Question

Me gustaría saber si esta series convergen o divergen?

$\sqrt { 2 } +\sqrt { 2-\sqrt { 2 } } +\sqrt { 2-\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } +\sqrt { 2-\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } +...$

Mi trabajo: multiplyIing tanto demominator y el numerador a $\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } $,$\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } $,$\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } $ respectivamente, y así sucesivamente..

$$\sqrt { 2 } +\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } +\frac { \sqrt { 2-\sqrt { 2 } } }{ \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } +\frac { \sqrt { 2-\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } }{ \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } } +...=\\ =\sqrt { 2 } +\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } +\frac { \sqrt { 2 } }{ \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } \right) } +\frac { \sqrt { 2 } }{ \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } \right) } +...=\\ =\sqrt { 2 } \left[ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } +\frac { 1 }{ \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } \right) } +\frac { 1 }{ \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2 } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } \right) \left( \sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2+\sqrt { 2 } } } } \right) } +... \right] $$

podemos escribir cada término como :${ a }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2+{ a }_{ n } } } ,{ a }_{ 0 }=\sqrt { 2 } $ es obvio que las secuencias son monótona decreciente por lo ${ a }_{ n }>{ a }_{ n+1 }$ y escribí suma como:$$S_{ \infty }=\sqrt { 2 } \sum _{ i=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { a }_{ i+1 }\sqrt { 2+{ a }_{ i } } } } $$(no estoy seguro) Estoy atrapado aquí,sospecho que la serie converge pero, ¿cómo demostrar que la convergencia de pruebas puedo usar que no sabe?Cualquier sugerencias,ayuda será appriceated? P. S. pido disculpas por mi inglés

Answer 1

Let: %#% $ de #% y $$ c_1=\sqrt{2},\quad c2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\quad c{n+1}=\sqrt{2+c_n}$. $d_n=c_n/2$ Y $d1=\cos\frac{\pi}{4}$, al reconocer la fórmula de duplicación de coseno, dan: $d{n+1}=\sqrt{\frac{1+d_n}{2}}$ $ así: $$ c_n = 2 \cos\frac{\pi}{2^{n+1}} $ $ y nos estamos preguntando si: %#% $ de #% es convergente, pero eso es trivial desde $$ \sqrt{2} = 2\sin\frac{\pi}{4},\quad \sqrt{2-\sqrt{2}}=2\sin\frac{\pi}{8},\qquad \sqrt{2-c_n} = 2\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}$. También podemos calcular esta suma:

$$ \sum_{n\geq 0}2\sin\frac{\pi}{2^{n+2}} $$

Answer 2

En primer lugar, la suma que queremos puede ser reescrita como $\displaystyle\;\sum_{n=0}^\infty \sqrt{\epsilon_n}\;$ donde $$\epsilonn = 2 - \overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}^{n\; \text{terms}}$ $ notarlo $n \ge 0$, $$\epsilon{n+1} = 2 - \sqrt{4 - \epsilon_n} = \frac{\epsilon_n}{2+\sqrt{4-\epsilon_n}}$ $ es fácil ver $\epsilonn > 0 \implies \epsilon{n+1} > 0$. Desde $\epsilon_0 = 2 > 0$, tenemos $\epsilon_n > 0$ % todos $n$. Por otra parte,

$$ \epsilon_{n+1} \le \frac{\epsilon_n}{2}, \forall n \ge 0 \quad\implies\quad \epsilon_n \le \frac{\epsilon_0}{2^n} = 2 ^ {n-1}, \forall n \ge 0 $$

Esto conduce a un límite superior para la suma a mano %#% $ #%

Puesto que la suma es sobre números no negativos, esto implica que la suma converge.