Problema de probabilidad - diamantes falsos y reales-

Question

Una caja contiene 35 gemas, de los cuales 10 son reales, 25 son falsos. Las gemas son tomadas al azar de la caja, en un tiempo sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 falsificaciones son seleccionados antes de la segunda diamante real es seleccionado ?

Yo estaba trabajando en el problema anterior y tengo 2 problemas que les agradecería si me pudieran dar algunos datos de entrada.

1), De mirar el problema, yo estaba pensando que el siguiente debe ser la de todos los casos que debo trabajar.

Si dejo $f=$ el caso de que el diamante es falso, mientras que $r=$ el caso de que el diamante es real,

$rffr$ El primero es real, las dos siguientes es falsa y la segunda verdadera muestra.

$frffr$ La primera es falsa, la siguiente es real, dos falsos muestra y el segundo real de la muestra.

...

$f...frffr$ De los 23 primeros falso muestra, una verdadera muestra, el resto de las dos falsas muestra y el último es inevitablemente real.

Yo, sin embargo, que esto es lo que significa tener "exactamente dos falsificaciones antes de la segunda real". Sin embargo, la solución a este problema se describe como

"exactamente 2 falsificaciones deben ser recogidos en los 3 primeros picks y el segundo diamante real debe ocurrir en la 4ª pick" y calculados $ffrr,frfr$ $rffr$ como si el problema dijo a escoger exactamente 4 gemas de la caja.

Me gustaría tener una confirmación. Si el problema no dicen explícitamente que los 4 gemas fueron recogidos, fue la forma en que me acercaba natural ? O, ¿ en que normalmente se asume como la solución nos dice que hagamos ?

2), Si lo que hicimos fue lo correcto o no, aun así me gustaría saber cómo calcularlo. Sé que la probabilidad debe ser,

$$\frac{10*25*24*9}{35*34*33*32}+\frac{25*10*24*23*9}{35*34*33*32*31}+\cdots +\frac{25*24\cdots*310*2*1*9}{35*34*\cdots*9}$$

Lo que de alguna manera se simplifica a

$$90*\frac{25*24}{35*34*33*32}*\left(1+{23\over31}+\frac{23*22}{31*30}+\cdot+\frac{23*22*\cdot*1}{31*30*\cdot*9} \right)$$

Yo no estoy familiarizado con este tipo de serie y tipo de aspecto geométrico, pero no lo es. Alguien puede guiarme a donde puedo estudiar este tipo de cálculo ? Cómo se llama ?

Answer 1

Para responder a (1), creo que la más natural, la lectura sería que exactamente dos de las falsificaciones de aparecer significa que una secuencia como $frffr$ es no tener en cuenta. Esta secuencia sería de tres falsificaciones. La única secuencias a considerar son, entonces, las tres que se mencionan cada uno de longitud 4.

Para (2), para mí el más simple descripción es como una definidos de forma recursiva suma. Su suma sería $$k * (1 + a_{23} + a_{22} + \dots + a_1),$$ with initial values $a_{23} := \frac{b_{23}}{c_{23}}$, $b_{23} := 23, c_{23} := 31$ and $k =\frac{90*25*24}{35*34*33*32}$, along with the recursive definitions of $a_{n-1} := a_n * \frac{b_{n-1}}{c_{n-1}}$, for $b_{n-1} := b_n -1$ and $c_{n-1} := c_n -1$. The idea is that each next $a_{i-1}$ can be simply defined on the basis of the last value $a_i$ y algunas fracción simple.

Answer 2

La solución no es correcta. El problema especifica exactamente $2$ falsificaciones. Que el experimento tiene una longitud de $4$ no necesita ser especificado, se desprende de la descripción.

Ahora a su segunda pregunta. Parece como si usted está pidiendo la probabilidad de que al menos $2$ falsificaciones a su vez antes de la segunda real. Es mucho más fácil calcular primero la probabilidad de que la complementan, la probabilidad de que menos de $2$ de las falsificaciones de mostrar hasta antes de la segunda real.

Mediante su notación, podemos decir que el complementario del suceso puede ocurrir de las siguientes maneras:

$rr, rfr, frr$.

Usted sabe cómo calcular las probabilidades de estas. Sumar y restar de $1$. Mucho más simple de evaluar la larga suma!

Answer 3

Para su interpretación de la pregunta, creo que la manera más fácil de proceder sería contar el número de secuencias que satisfacer su lectura del criterio.

Podemos contar las secuencias al seleccionar cualquier combinación de 9 reales y 23 de falsificaciones y, a continuación, insertar el "FFR" después de la primera real en la secuencia original. Esta operación es reversible, por lo que hay $\binom{32}{9}$ secuencias que cumplan su criterio. Ya que cada secuencia es igualmente probables, la probabilidad de satisfacer a su criterio $$ \frac{\binom{32}{9}}{\binom{35}{10}} = \frac{32\cdot 31\cdots 24}{9\cdot 8\cdots 1} \cdot \frac{10\cdot9\cdots1}{35\cdot34\cdots 26} = \frac{25\cdot 24\cdot 10}{35\cdot34\cdot 33}$$