Mostrar que el límite de una secuencia es cero

Question

Que $(an)$ secuencia positiva en $$\dfrac{n-1}{n} \leq \dfrac{a{n+1}}{a_n} \leq \dfrac {n}{n+1}$ $

Demostrar que: $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Estaba atrapado aquí:

I: $$\lim{n\to\infty} \dfrac{n-1}{n} = \lim{n\to\infty}1-\dfrac{1}{n} = 1$ $ II: $$\lim{n\to\infty} \dfrac {n}{n+1} = \lim{n\to\infty} \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{n}} = 1$ $

Entonces: $$\lim{n\to\infty} \dfrac{a{n+1}}{a_n} = 1$ $

¿Cómo continúo desde aquí?

Answer 1

Sólo observar que $$a_{n+1}\le \frac{n}{n+1}an\le \frac{n}{n+1}\cdot\frac{n-1}{n}a{n-1}=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}\le\cdots\le \frac{1}{n}a1\a{n+1}\ge \frac{n-1}{n}an\ge \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}a{n-1}=\frac{n-2}{n}a_{n-1}\ge\cdots\ge \frac{1}{n}a_2\\implies \lim\sup_n a_n\le 0\le \lim\inf_n a_n\\implies \lim_n a_n=0$$ Actually the lower bound on $an/a{n-1}$ is redundant as $a_n$ es una secuencia positiva.

Answer 2

@Samrat Mukhopadhyay Otra solución, en la misma línea que la tuya:

Vamos a definir:$b_n:=na_n$.

La segunda desigualdad se puede escribir así:$b_{n+1}\leq b_n.$

Por lo tanto,$b_n$ es una secuencia decreciente de números positivos.

Al estar limitado desde abajo por cero, la secuencia$b_n$ converge a su "lim inf", digamos$M \geq 0$.

De$\lim_{n \to \infty} b_n = M$ concluimos que, usando la definición de$b_n$,

ps

Observación: sorprendentemente, la primera desigualdad no juega ningún papel.