Deseo evaluar $$I=\int_1^{e+1}f^{-1}(t)\,dt$$ donde $f(x)=x+\log x\, $
Mi intento fue dejar que $t=f(u)\,$ para conseguir $$I=\int uf'(u)\,du=uf(u)-\int f(u)\,du$$ y la integral estaba más o menos terminada, sin embargo no sé cómo obtener los nuevos límites después de sustituir y encontrar la inversa creo que es bastante difícil. Agradecería alguna orientación.
Para el límite inferior, tienes que $t=1$ . Desde $t=f(u)$ puedes ponerlos iguales, y obtendrás $f(u)=1$ . Desde $f(x) =x+\log(x)$ , usted tiene $u+\log(u)=1$ y por inspección, $u=1$ . Para el límite superior, es más complicado si realmente tienes $\log(x)$ pero si en cambio tiene $\ln(x)$ entonces el límite superior es $e$ . (Tenga en cuenta que $\log$ sin ninguna calificación, se entiende generalmente como logaritmo de base 10; si se quiere logaritmo de base $e$ lo mejor es escribir como $\ln$ para evitar confusiones).
Tanto la manipulación de los límites, como la resolución de $u$ se simplifica por el hecho de que $f$ es monótona. Si tuvieras una función no monótona, gran parte de lo que hiciste, y gran parte de mi respuesta, no sería válida.
Otra forma de verlo es que la integral puede interpretarse como el área bajo una curva. Tomando los interruptores inversos $x$ y $y$ . Así, en lugar de encontrar el área yendo de izquierda a derecha y tomando la altura, puedes ir de abajo a arriba y tomar el ancho.
De hecho, en este contexto, $\log$ sin subíndice casi siempre significa $\log_e,$ que es lo mismo que $\ln.$ Es cierto que los libros de texto de la escuela secundaria y los libros de texto de "precálculo" de la escuela secundaria de recuperación siguen diciendo $\log$ sin subíndice significa base- $10$ logaritmo, y eso es lamentable.
¿Ha considerado modificar su declaración sin reservas de que $\log$ sin calificación, significa logaritmo de base 10? En algunos contextos, en el uso de algunas personas, puede significar eso; en este contexto es estándar que signifique base-e. $\qquad$
@MichaelHardy En tu afirmación "en este contexto es estándar que signifique base-e", la frase "en este contexto" es una calificación. Por lo tanto, no me parece que contradiga mi afirmación de que "log", sin calificación, significa base 10. Tanto la calculadora de Google como Excel dan log(10) como base 1. Nunca he visto que la base por defecto de log sea otra que 10. Pero he modificado un poco mi afirmación.
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