Residuo de $\frac{z}{\cosh(1/z)}$ $z=0$

Question

Necesito el

residuo de %#% $ #% en el % de origen $$\dfrac{z}{\cosh(\frac{1}{z})}$.

He intentado ampliar la función hiperbólica y escribir como una suma infinita convergente: $z=0$ $

Sin embargo, puesto que estamos mirando un punto cerca del origen $$\frac{z}{\cosh(\frac{1}{z})}=\frac{z}{1+\frac{1}{2!} \frac{1}{z^2}+\frac{1}{4!} \frac{1}{z^4}+...} = z \cdot \frac{1}{1-(-\frac{1}{2!}\frac{1}{z^2}-\frac{1}{4!}\frac{1}{z^4}-...)}$, el término entre paréntesis diverge y la fracción no se puede escribir como suma de potencias de $z=0$, así que no puedo encontrar el coeficiente $\dfrac{1}{z}$.

¿Cómo puedo calcular la expansión de la serie de a mano?

Answer 1

Observe que $0$ no es una singularidad aislada de $f(z)=\frac{z}{\cosh(\frac{1}{z})}$ porque $$\cosh(1/z_k)=0\quad\mbox{for}\quad zk=\frac{i}{(k+1/2)\pi} \quad\mbox{and}\quad \lim{k\to \infty}z_k=0.$$ ahí $f$ tiene no una expansión de la serie de Laurent en $z=0$ y el residuo no se define en $z=0$.

Answer 2

$$\text{Res}\left(\frac{z}{\cosh \left(\frac{1}{z}\right)},{z,0}\right)=\int_0^{2 \pi } \frac{e^{i t}}{\cosh \left(\frac{1}{e^{i t}}\right)} \, dt=0$$

No hay ningún residuo en $z=0$

Lo mejor que podía hacer con la serie es obtener un % de la serie convergente no $\sum _{n=0}^{\infty } (2 n)! z^{2 n+1}$que demuestra que no es ningún residuo $z=0$ porque no es un polo.

Espero que esto ayude