Realmente, ¿cómo puede una cantidad observable ser igual a un operador?

Question

Una función de onda puede escribirse como $$\Psi = Ae^{-i(Et - px)/\hbar}$$ donde $E$ & $p$ son la energía y el momento de la partícula. Ahora, diferenciando $\Psi$ por ejemplo $x$ y $t$ respectivamente, obtenemos \begin{align} \frac{\partial \Psi}{\partial x} &= \frac{i}{\hbar} p\Psi \\ \frac{\partial \Psi}{\partial t} &= -\frac{i}{\hbar}E\Psi \, . \end{align} Las ecuaciones anteriores pueden escribirse de forma sugerente \begin{align} p \Psi &= \left( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi \\ E \Psi &= \left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) \Psi \, . \end{align} Evidentemente, las magnitudes dinámicas momento y energía son equivalentes a los operadores \begin{align} p &=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \\ E &= i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \, . \end{align}

citado en la obra de Arthur Beiser Concepto de física moderna

¿Cómo pueden las cantidades observables ser iguales a los operadores? No se puede medir un "operador". ¿Puede alguien explicar intuitivamente cómo el momento y la energía son iguales a los operadores?

Answer 1

La razón por la que los operadores se corresponden con los valores medidos tiene que ver con lo que ocurre cuando se conecta un aparato de medición al sistema observado.

Supongamos que el Hamiltoniano del sistema por sí mismo es $H_S$ y el Hamiltoniano del aparato de medición por sí mismo es $H_M$ . Cuando $M$ está conectado físicamente a $S$ obtenemos un término adicional de "interacción" $H_I$ en el Hamiltoniano para que el Hamiltoniano completo sea

$$H = H_S + H_M + H_I \, .$$

Típicamente, $H_I$ es un producto de dos operadores, uno que actúa sobre $S$ y uno que actúa sobre $M$ . Por ejemplo, si $A_S$ es un operador sobre $S$ y $B_M$ es un operador sobre $M$ entonces podríamos tener $$H_I = A_S \otimes B_M \, . $$ Si no sabes qué $\otimes$ significa sólo pensar en $A_S \otimes B_M$ como una lista de dos operadores, el primero de los cuales actúa sobre $S$ y la segunda que actúa sobre $M$ . Resulta que cuando se tiene un Hamiltoniano de interacción como este y el aparato de medición tiene muchos grados de libertad de los que no tenemos información específica entonces el resultado de la interacción es que $S$ se reduce a una distribución de probabilidad aleatoria de posibles estados, cada uno de los cuales tiene un valor diferente de $A$ . Los posibles valores de $A$ son los valores propios del operador $A_S$ .

Así, si el hamiltoniano de la interacción es $$H_I = x_S \otimes O_M$$ donde $x_S$ es el operador de posición en $S$ y $O_M$ es un operador arbitrario sobre $M$ entonces el efecto de conectar el aparato de medición al sistema es colapsar el sistema en una distribución de probabilidad sobre varios estados, cada uno de los cuales tiene un valor específico de posición.

Answer 2

No igual pero equivalente en el sentido de que tienen el mismo efecto sobre la función de onda en cuestión.

Más concretamente, el libro utiliza un ligero abuso de la terminología. Tomando el impulso como ejemplo, no es realmente el caso que la cantidad dinámica de impulso sea equivalente al operador $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ porque un número no puede ser equivalente a un operador. Un número es una cosa en sí misma, mientras que un operador es algo que necesita ser aplicado a otra cosa para tener algún significado. Pero la operación de multiplicar la función de onda por el momento de la onda (un número) es equivalente a la operación de tomar la derivada y multiplicar por $\frac{\hbar}{i}$ . En lenguaje matemático: $$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi = p\psi\tag{1}$$ mientras que, estrictamente hablando, no podemos decir esto: $$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} = p$$ Al menos, no en la forma en que estás pensando en la notación.

Lo que hacemos normalmente en la física cuántica es pensar siempre en las cantidades como operadores. Es decir, si se escribe sólo $p$ en una ecuación, se entiende implícitamente que ésta debe aplicarse a alguna función de onda. Por ejemplo, si se escribe $$H = \frac{p^2}{2m}$$ lo que realmente quieres decir es $$H\psi = \frac{1}{2m}p (p \psi)$$

Answer 3

Como argumentó von Neumann, el proceso de medición tiene muchas propiedades que se asemejan a las que se encuentran en la teoría de las álgebras de operadores. Por ejemplo, si se tiene un instrumento, se puede medir algo, por ejemplo la longitud de una mesa, para obtener un valor determinado $x$ dentro de los errores experimentales. Lo que puedes hacer ahora es reetiquetar los ticks de tu instrumento según una determinada función $f$ . Si se mide la misma cantidad, ahora se encontrará $f(x)$ dentro de algún otro error. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que el resultado de una medición se encuentra en un subconjunto compacto de la recta real. El hecho de que inevitablemente haya que tratar con errores experimentales restringe el conjunto de funciones admisibles a aquellas que son uniformemente continuas en este conjunto compacto, por lo tanto continuas. Lo que se tiene entonces es algo que se parece al teorema del mapa espectral, es decir $$\sigma(f(O)) = f(\sigma(O))$$ donde $O$ es un observable (nótese que no estoy asumiendo $O$ para ser un operador todavía, esto seguirá como consecuencia de estas consideraciones heurísticas), y $f$ es el acto de reetiquetar las garrapatas, mientras que $\sigma(O)$ denota por el momento todos los posibles resultados de una medición de $O$ (el llamado espectro físico ).

La forma de definir los estados en este enfoque da lugar a un conjunto, el conjunto de estados admisibles, que tiene algunas propiedades matemáticas. En particular, este conjunto, cuando está dotado de una topología adecuada, se vuelve compacto y convexo. Lo mismo ocurre con el espacio de estado (este nombre proviene precisamente de este hecho) de un álgebra C* por el que se puede identificar la operación de medir $O$ sobre un estado $\omega$ como la evaluación del funcional lineal $\omega$ sobre algún "operador" $O$ .

Lo anterior ha conducido a la axiomatización de la mecánica cuántica (y clásica también, cuando se consideran los entornos conmutativos solamente) en los siguientes términos

Definición y axioma Un sistema físico es una álgebra C* $A$ cuya parte autoadjunta es el conjunto de observables y (un subconjunto de) su espacio de estados es el conjunto de todos los estados físicamente admisibles para el sistema.

Los "operadores" con los que se suele tratar en la mecánica cuántica surgen ahora como consecuencia del axioma anterior. Un álgebra C* es un objeto abstracto que se concreta cuando se considera una representación del mismo. Entre todas las representaciones, las importantes son las representaciones irreducibles. Resulta que un sistema mecánico cuántico con $n$ grados de libertad que satisfacen a las relaciones de Heisenberg (es decir, las relaciones de conmutación canónicas) genera un álgebra C* que es isomorfa al álgebra C* de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. La teoría de la representación para tal álgebra es tal que sólo existe una clase de equivalencia unitaria de representación irreducible. Dado que una de ellas es la representación de Schroedinger, ésta es esencialmente la única. El espacio de Hilbert asociado es $L^2(\mathbb R^n)$ con medida de Lebesgue. Así es como surge el formalismo de Dirac para la mecánica cuántica a partir de los primeros principios, en pocas palabras.

Answer 4

Tenga en cuenta que sólo puede identificar los números con los operadores cuando tiene una función de onda plana. Para una función de onda arbitraria, no se puede identificar el operador $(\hbar/i)(\partial / \partial x)$ con algún número $p$ pero se puede sostener que el operador tiene algún significado significativo relacionado con estos números. Si se aplica $$ \langle P\rangle = \int dx \, \psi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x) $$ cuando $\langle P\rangle$ es el valor esperado para la medición del número $p$ . Para el puesto $x$ el operador es simple la función $f(x)=x$ o número c $x$ .

Es el principio de Born de la mecánica cuántica. (no se puede deducir, sólo entender, es un principio).

Entender el principio: la función de onda $\psi (x)$ es una especie de estado de conocimiento del sistema. Cuando la función de onda se localiza en algún punto, digamos $\delta (x)$ la transformada de Fourier de esta función es simple $1$ , significa que la integración anterior se presenta como: $$ \int dp p $$ entonces, la probabilidad de distribución del impulso se reparte entre todos los valores por igual. La función de onda localizada no tiene ningún conocimiento sobre el momento. Así, el principio de Born se encuentra naturalmente con el principio de Heisenberg cuando definimos el operador de momento como $(\hbar/i)(\partial/\partial x)$ actuando en funciones sobre el espacio.