Significado de Hartshorne lema V.1.3 de secuencia exacta

Question

He estado tratando de hacer sentido de la secuencia exacta en el Lema 1.3 capítulo 5.

El Lema es el siguiente:

Deje $C$ ser una suave curva irreducible sobre una suave superficie proyectiva X, y deje $D$ ser cualquier curva de la reunión $C$ transversalmente. A continuación, $$\# (C \cap D) = \text{deg}_C(\mathcal{L}(D) \otimes \mathcal{O}_C)$$

Hartshorne afirma que el resultado se deduce de la secuencia exacta $$0 \to \mathcal{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_{C \cap D} \to 0.$$

Estoy tratando de conseguir los detalles abajo por la forma en que se presenta esta secuencia exacta. Deje $i: D \to X$ ser la inclusión del mapa. A continuación, obtenemos la secuencia exacta $$0 \to \mathcal{L}(-D) \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_D \to 0.$$

Deje $j: C \to X$ ser otro inclusión mapa. Entonces por tensoring con $j_*\mathcal{O}_C$, obtenemos $$0 \to \mathcal{L}(-D) \otimes j_*\mathcal{O}_C \to j_*\mathcal{O}_C \to i_*\mathcal{O}_D \otimes j_*\mathcal{O}_C \to 0.$$

El primer mapa es inyectiva ya que $C$ $D$ se cruzan de manera transversal, por lo que este es, de hecho, una secuencia exacta. Con el fin de obtener el resultado, necesitamos aplicar $j^*$ a la secuencia exacta. A continuación, llegamos $$0 \to j^*(\mathcal{L}(-D) \otimes j_*\mathcal{O}_C) \to \mathcal{O}_C \to j^*(i_*\mathcal{O}_D \otimes j_*\mathcal{O}_C) \to 0.$$

Podemos mirar a los tallos para ver que esto es exacto así.

Si $p : C \times_X D \to C$ es la canónica mapa procedente de la fibra de producto, ¿cómo puedo saber que $j^*(i_*\mathcal{O}_D \otimes j_*\mathcal{O}_C) \cong p_*\mathcal{O}_{C \times_X D}$$j^*(\mathcal{L}(-D) \otimes j_*\mathcal{O}_C) \cong \mathcal{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C$? Qué quiere decir que el $\mathcal{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C = j^*\mathcal{L}(-D)$? Si es así, yo veo que los tallos son de la misma por ocuparse de las presheaves, pero hay algunos slick manera de ver este otro que en realidad la escritura de los mapas de abajo? Hay algunos universal de la propiedad trucos que producirán los resultados?

Answer 1

Basta con echar la secuencia exacta en $X$:

$$0 \to \mathcal L(-D) \to \mathcal OX \to i* \mathcal O_D \to 0$$

y tire hacia atrás a lo largo de $j: C \hookrightarrow X$ para obtener (como usted ha señalado, exactitud es conservado por supuesto):

$$0 \to j^\mathcal L(-D) \to \mathcal O_C \to j^i_* \mathcal O_D \to 0.$$

De hecho tenemos $j^* \mathcal L(-D) = \mathcal L(-D) \otimes \mathcal O_C$.

Por otra parte, tenemos el siguiente diagrama cartesiano:

\begin{array}{ccc} C \cap D& \xrightarrow{\hat j} & D \[3pt] \downarrow {\hat i} & & \downarrow{i} \ C& \xrightarrow{j} & X \end{matriz}

Esto muestra que el $j^i_ \mathcal OD = \hat i\hat j^\mathcal OD = \hat i* \mathcal O_{C \cap D}$, es decir, que tenemos la secuencia exacta de $C$:

$$0 \to \mathcal L(-D) \otimes \mathcal O_C \to \mathcal OC \to \hat i* \mathcal O_{C \cap D} \to 0.$$

Como de costumbre, se omite el $\hat i_*$, por lo que se escribe como

$$0 \to \mathcal L(-D) \otimes \mathcal O_C \to \mathcal OC \to \mathcal O{C \cap D} \to 0.$$