Evaluar $\lim_{n\to \infty} \sum_{r=1}^n \frac {1}{2^r}\tan \left(\frac {1}{2^r}\right)$

Question

Evaluar $$\lim_{n\to \infty} \sum_{r=1}^n \frac {1}{2^r}\tan \left(\frac {1}{2^r}\right)$$

He intentado crear una suma telescópica pero no he podido. El último paso al que pude llegar fue convertir el límite en $$\lim_{n\to \infty} \sum_{r=1}^n \left(\frac {1}{2^r(1-\tan (2^{-r+1})} -\frac {1}{2^r(1+\tan (2^{-r+1})}\right)$$

Pero no pude seguir adelante. También pensé en las sumas de Riemann pero era un puro callejón sin salida. Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Solución 1. Por la fórmula del doble ángulo del seno,

$$\sin x = 2^n \sin(2^{-n}x) \prod_{k=1}^{n} \cos(2^{-k}x).$$

Ahora, al diferenciar ambos lados, se obtiene

$$\cot x = \frac{1}{2^n}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\tan\left(\frac{x}{2^k}\right).$$

Tomando $n\to\infty$ y simplificando da

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}\tan\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{1}{x} - \cot x.$$

---

Solución 2. El cálculo anterior sugiere el tipo de telescopio que tenemos que crear. En efecto, por la fórmula del doble ángulo tangente

$$\frac{1}{2}\cot\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\tan^2(x/2)}{2\tan(x/2)} = \cot x$$

y por lo tanto

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\tan\left(\frac{x}{2^k}\right) &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2^k}\cot\left(\frac{x}{2^k}\right) - \frac{1}{2^{k-1}}\cot\left(\frac{x}{2^{k-1}}\right) \right) \\ &= \frac{1}{2^n}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right) - \cot x. \end{align*}$$

Tomando $n\to\infty$ da la misma respuesta.