$\int x^x\,dx$ - ¿Qué es y por qué?

Question

Como un estudiante de secundaria cálculo, me topé con las posibilidades de: %#% $ de #% mis amigos y yo actualmente estamos confundidos. Mi primera idea fue: $$\int x^x\,dx$ $ pero dudo es este simple. He leído por varios foros y no encuentra solución ni explicación! Por favor ayude a arrojar luz sobre este misterioso intregral.

Answer 1

$x^x$ no se puede integrar ya que no hemos encontrado ninguna función cuya derivada sea$x^x$, aunque podemos encontrar aproximaciones de integrales definidas de$x^x$ considerando su serie de potencias.

ps

Que por lo tanto significa que

ps

Aunque esto ciertamente parece mucho más desordenado, ahora podemos aproximar los valores de la función imposible$$x^x=1+x\ln(x)+\frac{1}{2}x^2\ln^2(x)+\frac{1}{6}x^3\ln^3(x)+...=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n\ln^n(x)}{n!}$

Answer 2

Para ampliar un poco en mi comentario, resulta que $f(x) = x^x$ no tiene anti-derivada se puede expresar en términos de funciones elementales.

Las matemáticas involucradas es a nivel universitario. Si recuerdo correctamente, es un decidable problema para comprobar si una función dada tiene un efecto anti-derivada se puede expresar en términos de una determinada clase de funciones elementales.

El resultado puede ser derivada a partir de algo que se llama diferencial de la teoría de Galois o de Liouville teoría, en donde este último es probablemente el más fácil de campo para entrar en una de las dos, pero sigue siendo un poco alto nivel y técnica (de hecho, los dos campos están probablemente relacionados).

Esto es sólo para decir que es posible demostrar que una función dada no tiene "agradable" integral, pero también para decirle que hacerlo es avanzado.

Answer 3

Si suponemos que la antiderivada de$x^x$ está en forma de$x^xf(x)$, entonces podemos ver que$f(x)$ es la solución a la ecuación diferencial$$1=(\ln(x)+1)f(x)+f'(x)$ $

Solo un pensamiento.

Answer 4

Como diligar contestado, si escribes $$x^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n\ln^n(x)}{n!}$$ you are then let with the problem of computing the integrals $$I_n=\int x^n\log^n(x)\,dx$$ which is doable using the gamma function. It simplifies using the exponential integral function and the result is $$In=-\log ^{n+1}(x)\, E{-n}\big(-(n+1) \log (x)\big)$$ The problem is that the convergence requires quite many terms. To give you an idea, using the above expressions, I computed using numerical integration the value $$\int_2^9 x^x\,dx \approx 1.22592630615242\times 10^8$$ Now, using the summation for $$ %k términos $$ \left (\begin{array}{cc} k & value \ 10 & 2.95976367580423\times 10^6 \ 15 & 2.90442516168767\times 10^7 \ 20 & 8.13458442990505\times 10^7 \ 25 & 1.13993643109235\times 10^8 \ 30 & 1.21744554000771\times 10^8 \ 35 & 1.22550640678100\times 10^8 \ 40 & 1.22591514498982\times 10^8 \ 45 & 1.22592613687818\times 10^8 \ 50 & 1.22592630460872\times 10^8 \ 55 & 1.22592630614356\times 10^8 \ 60 & 1.22592630615238\times 10^8 \ 65 & 1.22592630615241\times 10^8 \ 70 & 1.22592630615241\times 10^8 \end{matriz} \right)$$

Answer 5

Es cierto que se pueden integrar fácilmente

$$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}$$y

$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}.$$

Comprobar mediante la toma de los derivados.

Pero

$$\int x^x dx$$ es un asunto totalmente diferente, y en realidad no se puede expresar mediante las funciones usuales.

En los ejemplos anteriores, la exponenciación es algo conservadas de modo que podemos esperar una antiderivada como $x^x$. Pero tomando la derivada, un desagradable factor aparece.

$$\left(x^x\right)'=(1+\ln(x))x^x.$$

Usted puede tratar de una forma más general como $f(x)^{g(x)}$, y que los rendimientos de

$$\left(f(x)^{g(x)}\right)'=\left(\frac{f'(x)}{f(x)}g(x)+\ln(f(x))g'(x)\right)f(x)^{g(x)}$ $ , pero hay poca esperanza para la simplificación.