Dos objetos A y B, de masas 5 kg y 20 kg respectivamente, están unidos por una cuerda sin masa que pasa por encima de una polea sin rozamiento en la parte superior de un plano inclinado, como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento estático es mu_s = 0,4 entre todas las superficies (a) ¿Con qué ángulo $\theta$ ¿debe estar inclinado el plano para que comience el deslizamiento? (b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda y cuáles son las magnitudes de las fuerzas de fricción en esta inclinación crítica? (c) Con un ángulo de inclinación de 15 $^\circ$ ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (d) Con un ángulo de inclinación de 35 $^\circ$ ¿Cuál es la tensión de la cuerda?
Pude resolver (a) y (b) dibujando un diagrama de cuerpo libre como se muestra:
La Segunda Ley de Newton, al poner todas las aceleraciones a cero, implica las siguientes relaciones:
$N_A = m_A g \cos(\theta)$
$T = m_A g \sin(\theta) + f_2$
$N_B = (m_B + m_A) g \cos(\theta)$
$T + f_1 + f_2 = m_B g \sin(\theta)$
La segunda ecuación se puede sustituir en la cuarta ecuación para obtener \begin{equation} f_1 + 2f_2 = (m_B - m_A) g \sin(\theta) \;\;\;\; (1) \label{eq:1} \end{equation}
Ajuste de las fuerzas de fricción a sus valores máximos $f_{1,{\rm max}} = \mu_s N_B = \mu_s (m_B + m_A) g \cos(\theta)$ y $f_{2,{\rm max}} = \mu_s N_A = \mu_s m_A g \cos(\theta)$ permite resolver estas ecuaciones para $\theta = 43^\circ$ , $f_2 = 14.33$ N, $f_1 = 71.64$ N y $T = 47.76$ N.
Sin embargo, estoy un poco confundido sobre las partes (c) y (d) que tratan de los ángulos por debajo de 43 $^\circ$ .
Tengo 5 incógnitas: la tensión, dos fuerzas normales y dos fuerzas de fricción, pero sólo cuatro restricciones de la Segunda Ley de Newton. Equivalentemente, refiriéndonos a la Ec. (1), la fuerza neta aplicada a la que debe oponerse el rozamiento estático es fija, por lo que $f_1+2f_2$ se conoce, pero no hay ninguna restricción adicional para determinar cuánto $f_1$ se opone y cuánto $f_2$ se opone. Parece que hay un grado de libertad en la forma de $f_1$ y $f_2$ se determinan, es decir, un parámetro libre.
Mi intento hasta ahora es suponer que para pendientes muy pequeñas podríamos esperar que la fricción mantuviera los bloques inmóviles y por lo tanto la cuerda estaría floja y la tensión $T$ se elimina de las ecuaciones. En este caso, el diagrama de cuerpo libre se dibujaría de forma diferente, porque sin la cuerda, la tendencia es que el bloque A se deslice hacia abajo a través del bloque B:
La inclinación máxima en estas condiciones se encuentra equilibrando las fuerzas:
$m_A g \sin(\theta) = f_2 \le \mu_s m_A g \cos(\theta)$
$\Rightarrow \tan(\theta) \le \mu = 0.4$
$\Rightarrow \theta \le 21.8^\circ$
Cuando se aumenta la inclinación por encima de $21.8^\circ$ Estoy confundido sobre lo que ocurrirá. Los bloques se deslizarán por la pendiente, pero la cuerda se tensará y, de repente, la tendencia del sistema será que el bloque B, más pesado, acelere por la pendiente, y el bloque A, más ligero, acelere arriba la pendiente (porque el bloque B tira de él a través de la cuerda), resultando un diagrama de cuerpo libre como el de mi figura original. Sigo sin entender cómo calcular la tensión y las dos fuerzas de fricción en este caso.
¿Cómo puedo determinar la tensión $T$ y las fuerzas de fricción $f_1$ y $f_2$ para ángulos de inclinación entre $21.8^\circ$ y $43^\circ$ ? Para estas inclinaciones, no parece haber suficientes restricciones para determinar cada cantidad, véase por ejemplo la Ec. (1). ¿Hay alguna restricción adicional en la que no he pensado, o quizás he dibujado mal mi diagrama de cuerpo libre?
