Relación entre clase de convergencia y convergencia

Question

Una convergencia de la clase se define a partir de nlab

Un espacio de convergencia es un conjunto $S$ junto con una relación de $→$ $ℱS$ $S$donde $ℱS$ es el conjunto de filtros en $S$; si $F→x$, podemos decir que el $F$ converge a $x$ o que $x$ es un límite de $F$. Este debe satisfacer algunos axiomas:

• Centrado: El director de ultrafilter $F_x=\{A∣x∈A\}$ $x$ converge a $x$;
• Isótono: Si $F⊆G$$F→x$,$G→x$;
• Dirigido: Si $F→x$$G→x$, a continuación, algunos de filtro de contenidos en la intersección $F∩G$ converge a $x$. A la luz de (2), se desprende que $F∩G→x$ sí. (Estrictamente hablando, la relación no debe ser llamada dirigida a menos que también cada punto es un límite de algunos de filtro, pero esto se desprende de 1.)

Una convergencia espacio topológico si se trata de una topología en S.

Mis preguntas:

1. La definición también puede ser expresada en términos de redes; una red $ν$ converge a $x$ si y sólo si su eventualidad de filtro (que se define como sigue) converge a $x$.

   Deje $X$ ser un conjunto, vamos a $D$ ser dirigido conjunto, y deje $n$ ser una función de$D$$X$, por lo que el $n$ es un netos en $X$. Dado un subconjunto $A$ de $X$, $n$ es el tiempo en $A$ si $i$$D$, para cada una de las $j≥i$ en $D$, $n_j∈A$. La colección de $F_n$ de todos los subconjuntos $A$ tal que $x$ es el tiempo en $A$ es un filtro adecuado en $X$, llama la eventualidad de filtro de $n$.

   Me preguntaba cómo la definición de un espacio de convergencia puede ser equivalentemente, se reformula en términos de redes?

2. Cómo es la definición de un espacio de convergencia relacionados con la definición de convergencia de la clase que se define en términos de redes de siguiente (citado de Pete Clark en MO):

   En la sección "la Convergencia de las Clases" al final del Capítulo 2 de la Topología General, Kelley, enumera los siguientes axiomas para convergente redes en un espacio topológico $X$

   a) Si $S$ es una red tal que $Sn=s$ por cada $n$ [es decir, una constante en la red] y, a continuación, $S$ converge a $s$.

   b) Si $S$ converge a $s$, lo hace cada subred.

   c) Si $S$ no converge a $s$, entonces no es una subred de $S$, no subred de la que converge a $s$.

   d) (Teorema sobre la iterada límites): Vamos a $D$ ser un conjunto dirigido. Para cada una de las $m\in D$, vamos a $E_m$ ser dirigido conjunto, vamos a $F$ ser el producto $D \times \prod_{m \in D} E_m$ $(m,f)$ $F$ vamos $R(m,f)=(m,f(m))$. Si $S(m,n)$ es un elemento de $X$ por cada $m∈D$ y $n\in E_m$$\lim_m \lim_n S(m,n)=s$, $S∘R$ converge a $s$.

   Anteriormente, se ha demostrado que en cualquier espacio topológico, la convergencia de redes satisface a) a la d). (Los tres primeros son fáciles; de la parte d) es, creo, un resultado original de su.) En esta sección se demuestra a la inversa: dado un conjunto $X$ y un conjunto $C$ de las parejas (net,punto) la satisfacción de los cuatro axiomas anteriores, no existe una única topología en $X$ de manera tal que una red $S$ converge a $s∈X$ fib $(S,s)∈C$.

   En particular, Kelley con la convergencia de la clase es topologizable mientras nlab de convergencia del espacio no puede ser. Si por la omisión de algunos de sus axiomas, la generalización de la convergencia de clase se convierten en el equivalente a nlab de convergencia del espacio?

Gracias y saludos!

Answer 1

Para una red y su eventualidad de filtro tenemos que tener exactamente los mismos límites en $X$. Porque la neta $n$ converge a $p$ fib $n$ es, finalmente, en todos los barrios de $p$ fib todos los barrios de $p$ están en la eventualidad de filtro de $n$ iff la eventualidad de filtro de $n$ converge a $p$.

La eventualidad de filtro es el filtro generado por el filterbase de las colas de la red: si $n: D \rightarrow X$ es una red (que se define en algunos dirigido set $D$) y luego una cola de $n$ es un conjunto de la forma $T(j) = \left\{n(i) : i \ge j \right\}$, para algunas de las $j \in D$. Las colas formar un filterbase porque el conjunto $D$ es dirigido. Así que tenemos una función natural, $F$ que envía una red $n$ a un filterbase $F(n)$, de tal manera que $n \rightarrow p$ fib $F(n) \rightarrow p$.

También hay una función que va de nuevo: si vamos a empezar con un filterbase $\mathcal{B}$, podemos definir una dirigida orden en $X \times \mathcal{B}$ $(x,B) \le (x',B')$ fib $B' \subset B$, (dirigida, por supuesto, porque $\mathcal{B}$ es un filterbase!) y una natural net $G(\mathcal{B})$ que envía a$(x,B)$$x$. A continuación, de nuevo (de revisar las definiciones), se sabe que $\mathcal{B}$ converge a $p$ (que se define como: a cada barrio de $p$ contiene un miembro de $\mathcal{B}$, o lo que es equivalente, la que genera el filtro de $\mathcal{F}$$\mathcal{B}$, es decir, todas las superseries de los miembros de la filterbase, converge a $p$) iff la neta $G(\mathcal{B})$ converge a $p$.

También uno puede comprobar (un poco tedioso) que $F(G(\mathcal{B}))= \mathcal{B}$ y al revés, que las redes se $n$ $G(F(n))$ son equivalentes, en el sentido de que son subredes de cada uno de los otros, si definimos la subred en la clásica (Kelly). No son idénticas, como están definidos en los diferentes conjuntos de índice.

Larga historia corta, que se puede traducir todos los axiomas de la red de convergencia a aquellos para los que se pueda filtrar la convergencia y viceversa.

Las anteriores 3 axiomas para los filtros parecen bastante naturales, y han neto análogos. Lo que Kelly considera que es una caracterización (con extra de los axiomas) de los espacios de convergencia que provienen de una topología. Su axioma c) es una típica, que puede fallar para no topológico de convergencias.