Una desigualdad sobre la función máxima

Question

Consideremos la función sobre $\mathbb R$ definido por

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{|x|\left(\log\frac{1}{|x|}\right)^2} & |x|\le \frac{1}{2}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Supongamos ahora que $f^*$ es la función máxima de $f$ , entonces quiero mostrar la desigualdad $f^*(x)\ge \frac{c}{|x|\left(\log\frac{1}{|x|}\right)}$ se mantiene para algunos $c>0$ y todos $|x|\le \frac{1}{2}$ .

Pero no sé cómo probarlo. ¿Alguien puede darme alguna pista?

Muchas gracias.

Answer 1

Por definición $$f^*(x)=\sup_{B\in \text{Balls}(x)}\frac{1}{\mu(B)}\int\limits_B |f(y)|d\mu(y)\qquad(1)$$ donde $\text{Balls}(x)$ el conjunto de todas las bolas cerradas que contienen $x$ . Podemos expresar $f^*$ en otra forma $$f^*(x)=\sup_{\alpha\leq x\leq\beta}\frac{1}{\beta-\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\beta} |f(y)|d\mu(y)$$ Considere $0< x\leq1/2$ . Obviamente $$f^*(x)=\sup_{\alpha\leq x\leq\beta}\frac{1}{\beta-\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\beta} |f(y)|d\mu(y)\geq\frac{1}{x-0}\int\limits_{0}^{x}|f(y)|d\mu(y)=-\frac{1}{x\log x}$$ Así, $f^*(x)\geq\frac{1}{x\log\left(\frac{1}{x}\right)}$ para $0<x\leq 1/2$ . Desde $f$ es incluso entonces hace $f^*$ por lo que la desigualdad $$f^*(x)\geq\frac{1}{|x|\log \left(\frac{1}{|x|}\right)}$$ es válida para todos los $-1/2\leq x\leq1/2$