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Una desigualdad sobre la función máxima

Consideremos la función sobre R definido por

f(x)={1|x|(log1|x|)2|x|120otherwise

Supongamos ahora que f es la función máxima de f , entonces quiero mostrar la desigualdad f(x)c|x|(log1|x|) se mantiene para algunos c>0 y todos |x|12 .

Pero no sé cómo probarlo. ¿Alguien puede darme alguna pista?

Muchas gracias.

3voto

mona Puntos 38

Por definición f(x)=sup donde \text{Balls}(x) el conjunto de todas las bolas cerradas que contienen x . Podemos expresar f^* en otra forma f^*(x)=\sup_{\alpha\leq x\leq\beta}\frac{1}{\beta-\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\beta} |f(y)|d\mu(y) Considere 0< x\leq1/2 . Obviamente f^*(x)=\sup_{\alpha\leq x\leq\beta}\frac{1}{\beta-\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\beta} |f(y)|d\mu(y)\geq\frac{1}{x-0}\int\limits_{0}^{x}|f(y)|d\mu(y)=-\frac{1}{x\log x} Así, f^*(x)\geq\frac{1}{x\log\left(\frac{1}{x}\right)} para 0<x\leq 1/2 . Desde f es incluso entonces hace f^* por lo que la desigualdad f^*(x)\geq\frac{1}{|x|\log \left(\frac{1}{|x|}\right)} es válida para todos los -1/2\leq x\leq1/2

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